Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
17/05/2019, 17:54
Salve ho questo esercizio:
a) verificare che
$G={((a,b),(0,1)) : a,b \inZZ_5, a!=0}$
è un sottogruppo di ordine 20 di $GL_2(ZZ_5)$ rispetto al prodotto righe per colonne e determinarne il centro.
b) provare che M ha un unico sottogruppo normale di N di ordine 5 e determinarlo.
c) provare che $G/N~=(ZZ_5^*, .) $ e determinare tale isomorfismo esplicitamente
Ho difficoltà per quanto riguarda calcolare i sottogruppi di ordine 20. come posso fare? che teorema posso applicare?
17/05/2019, 18:34
ho provato a procedere così:
a) G sottogruppo se:
$((a,b),(0,1)) ((a',b'),(0,1)) = ((aa',ab'+b),(0,1)) \inG$
poichè a può assumere come valori 1,2,3,4 e b può assumere come valori 0,1,2,3,4
$|G|=ab=5*4=20$
CENTRO
$((a,b),(0,1)) ((x,y),(0,1)) = ((x,y),(0,1)) ((a,b),(0,1))$
svolgendo i prodotti righe per colonna della matrice arrivo a questo sistema
$\{(ax=xa),(ay+b=xb+y):}$
da cui $a!=0$ quindi per $b=0 \to ay=y \to a=1$
per cui il centro è $((1,0),(0,1))$
b) poichè $|G|=20=2^2*5$
per Sylow esiste un 5-sottogruppo di ordine 5 tale che
$r_5=1+5n r_5|20 =>r_5=1$
esiste un unico sottogruppo normale N di ordine 5.
- Come lo determino? il punto c come si fa?
18/05/2019, 00:48
Come lo determino?
Prova a vedere cosa succede se consideri
$<((1, 1),(0, 1))>$
18/05/2019, 09:29
Cioè? Non ho capito bene cosa devo fare..
18/05/2019, 11:29
Calcola le potenze di $((1,1),(0,1))$
Generalmente si indica con $<x> ={x^n|n in \mathbb{Z}}$ e si parla di sottogruppo ciclico generato da $x$ (verifica che questo è in generale un sottogruppo, se non l'hai già fatto).
Nel tuo caso otterrai ${((1,1),(0,1)),((1,1),(0,1))^2,...}$(lascio i conti a te) e per un certo esponente riotterrai l'elemento neutro del gruppo (cioè $((1,0),(0,1))$) perché il tuo gruppo è finito, quindi non puoi trovare infinite potenze diverse.
Qual è questo certo esponente?
A cosa è isomorfo questo sottogruppo che hai trovato?
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