Verifica gruppo abeliano su un insieme dato

Ciao, questo è il primo post anche se vi leggo da un po' in modalità lurker

Premetto che sono un po' avanti con l'età e sono i miei primi passi su questa materia per via di un esame (li faccio da privatista, non posso seguire le lezioni per motivi lavorativi) quindi perdonatemi se ci arrivo dopo alle vostre risposte.
Volevo chiedervi un consiglio su un esercizio che devo svolgere ma di cui non so se sto sbagliando completamente l'approccio al problema che è il seguente:

Si consideri l'insieme G [0;1] in R.
In questo insieme si ponga la relazione x*y uguale a
\begin{cases} x+y \Longrightarrow x+y=0) \\ x+y-1 \Longrightarrow x+1 >= 1) \end{cases}

Ora, la richiesta è verificare, sulla relazione data, che tutte le operazioni siano interne, sia associativa, commutativa, esista l'elemento neutro e l'inverso.
Il mio approccio è stato creare una tavola pitagorica con la relazione * ovvero:
* 0 1
0 0 0
1 0 1

I valori ottenuti sono l'applicazione di una delle due regole del sistema della relazione in base al risultato.
0 + 0 = 0 (perchè x +y< 1)
0 + 1 = 0 (perchè x +y = 1)
1+ 0 = 0 (perchè x +y = 1)
1 + 1 = 1 (perchè x +y > 1)

La verifica dei criteri è associativa, commutativa ma sono in dubbio sulla ricerca del neutro e dell'inverso.
Ho ragionato cercando l'elemento neutro "u" come l'elemento che a*u=a e dalla tabella sembra essere il valore 1
L'inverso è quell'elemento "aii" che applicato ad a*aii=u ma per x o y uguali a zero non esiste inverso che mi dia il neutro e quindi il gruppo non è abeliano perchè non ammette inverso.

Sto sbagliando ?

Grazie a tutti in anticipo per l'aiuto.

Non si capisce come sia definita la relazione.

Non si capisce come sia definita la relazione.

Ciao,

la relazione nell'insieme dato è:

x+y se x+y=0
x+y−1 se x+1>=1

Ancora non si capisce… Ad esempio, $1/3 + 1/4 =?$

L'insieme è composto solo da 0 e 1

Allora l'insieme è $G={0,1}$, con le parentesi graffe, se lo scrivi con le parentesi quadre è tutti l'intervallo reale compreso tra $0$ e $1$.

Allora l'insieme è $G={0,1}$, con le parentesi graffe, se lo scrivi con le parentesi quadre è tutti l'intervallo reale compreso tra $0$ e $1$.

Ciao, ho ripreso la traccia originale avevo copiato male sul quaderno la traccia.
Questo è il testo originale dal libro (che non ho, altrimenti vi avrei postato subito la foto, scusate).

https://ibb.co/Xb8YySS

Quindi G non è l'insieme che contiene solo 0 e 1, ma il segmento reale tra 0 e 1, 0 compreso e 1 escluso.
Algebricamente $0<=x<1 ^^ 0<=y<1$ con $x,y in RR$
Quindi $1/3$*$1/4=7/12$, mentre $2/3$*$3/4=17/12-1=5/12$

Ho visto che nel testo hai anche fatto un ulteriore errore di trascrizione, la definizione corretta dell'operazione è
\[ \begin{cases} x+y \Longrightarrow x+y=0) \\ x+y-1 \Longrightarrow x+y >= 1) \end{cases} \]

L'operazione è ben definita, $AA a, b in G a$*$b in G$ ed è unico

C'è l'elemento neutro che vale $0$, infatti $a$*$0=a$ e $0$*$a=a$

È associativa (la dimostrazione è un po' lunghetta)

C'è l'inverso di ogni elemento infatti se $a!=0$ allora $a$*$a'=0 => a'=1-a$,
se $a=0$ allora $0$*$a'=0 => a'=0$

È anche commutativa per la commutatività dell'addizione.

Ho visto che nel testo hai anche fatto un ulteriore errore di trascrizione, la definizione corretta dell'operazione è
\[ \begin{cases} x+y \Longrightarrow x+y=0) \\ x+y-1 \Longrightarrow x+y >= 1) \end{cases} \]

L'operazione è ben definita, $AA a, b in G a$*$b in G$ ed è unico

C'è l'elemento neutro che vale $0$, infatti $a$*$0=a$ e $0$*$a=a$

È associativa (la dimostrazione è un po' lunghetta)

C'è l'inverso di ogni elemento infatti se $a!=0$ allora $a$*$a'=0 => a'=1-a$,
se $a=0$ allora $0$*$a'=0 => a'=0$

È anche commutativa per la commutatività dell'addizione.

Grazie.