Dubbio polinomio

Salve.
Se considero il polinomio X^3 - Y^2 - 1 in Z[Y][X] il polinomio che devo considerare è X^3 - 1 la cui fattorizzazione è (X - 1)(X^2 - X + 1).
Se considero il polinomio X^3 - Y^2 - 1 in Z[X][Y] il polinomio che devo considerare è -Y^2 - 1 che è irriducibile in Z[Y] perché il suo discriminante è negativo.
Esatto?
L'irriducibilità del polinomio posso anche studiarla così?
Ma poi quali passaggi devo fare? Ringrazio coloro i quali mi aiuteranno a risolverlo questo esercizio sui polinomi.

Perché dovresti considerare un polinomio?

E allora come lo dovrei studiare per vedere se è riducibile o irriducibile?

Prendi $-Y^2+(X^3-1)$ vedendolo in $(\mathbb{Z}[X])[Y]$, se non ricordo male il criterio di Eisenstein si può applicare scegliendo un elemento primo abbastanza facile da individuare in questo caso

Il numero primo è p = - 1. Ma come lo applico il criterio di Eisenstein a questo polinomio essendo in due indeterminate?

Il numero primo è p = - 1. Ma come lo applico il criterio di Eisenstein a questo polinomio essendo in due indeterminate?

Scusa ma da quando -1 è primo?

E allora qual è questo numero primo p che devo considerare e come applico il criterio di Eiaensten essendo il polinomio in due indeterminate?

Si tratta di applicare lo stesso identico criterio che si usa quando sei a coefficienti interi, ma stavolta l'elemento primo va visto nell'UFD $\mathbb{Z}[X]$ (il criterio si enuncia anche in termini di ideali primi, ma qui prendiamo quello principale generato dal suddetto elemento).

Quindi il polinomio che devo considerare è p(X) = X^3 - 1. Il primo da considerare è p = 1 e poi applico il criterio di Eisenstein al polinomio?