Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
06/09/2019, 15:14
Salve a tutti, ho una domanda sul piccolo teorema di Fermat.. E la dimostrazione è fatta per induzione ed usando il coefficiente binomiale.. Ho capito tutte le varie parti della dimostrazione tranne una.
Il teorema enuncia:
Sia $p$ un numero $primo,$ allora $AA$ $a$ $in$ $ZZ$ $a^p$ $-=$ $a(mod p)$.
Dopo aver trasformato il teorema in un uguaglianza di classi di equivalenza poi la dimostrazione procede col dire che per p = 2 l'asserto è vero.. Perchè? Non riesco a capire! Grazie a tutti per l'enorme aiuto!
06/09/2019, 15:30
Qual è il tuo dubbio, di preciso?
06/09/2019, 16:41
axpgn ha scritto:Qual è il tuo dubbio, di preciso?
La banalità dell'affermazione: "Per p = 2 l'asserzione è verificata". Non riesco a capirne il motivo..
06/09/2019, 16:46
$a^p-=a\text( mod p)$
Caso $p=2$
$a^2-=a\text( mod 2)$ equivale a dire $a^p-a=kp\ ->\ a^2-a=2k\ ->\ a(a-1)=2k$ ma $a$ e $a-1$ sono interi consecutivi quindi uno dei due è pari perciò il loro prodotto è divisibile per due quindi $k$ è intero per cui la relazione è vera.
06/09/2019, 17:03
axpgn ha scritto:$a^p-=a\text( mod p)$
Caso $p=2$
$a^2-=a\text( mod 2)$ equivale a dire $a^p-a=kp\ ->\ a^2-a=2k\ ->\ a(a-1)=2k$ ma $a$ e $a-1$ sono interi consecutivi quindi uno dei due è pari perciò il loro prodotto è divisibile per due quindi $k$ è intero per cui la relazione è vera.
Ah ecco, ora mi è tutto più chiaro, tutto questo ragionamento era stato tolto per "verificato banalmente" ahah. Ti ringrazio!
07/09/2019, 05:07
In verità, la cosa mi pare ancora più semplice.
Infatti, risulta \(x \equiv y \mod 2 \) se e solo se $x$ ed $y$ sono entrambi pari od entrambi dispari; ed è una proprietà elementare dei quadrati il fatto che la parità di un quadrato è la stessa della base, cioè che $a^2 text( è pari) <=> a text( è pari)$ (ed ovviamente $a^2 text( è dispari) <=> a text( è dispari)$).
Dunque è davvero ovvio che \(a^2 \equiv a \mod 2 \).
08/09/2019, 17:38
gugo82 ha scritto:In verità, la cosa mi pare ancora più semplice.
Infatti, risulta \(x \equiv y \mod 2 \) se e solo se $x$ ed $y$ sono entrambi pari od entrambi dispari; ed è una proprietà elementare dei quadrati il fatto che la parità di un quadrato è la stessa della base, cioè che $a^2 text( è pari) <=> a text( è pari)$ (ed ovviamente $a^2 text( è dispari) <=> a text( è dispari)$).
Dunque è davvero ovvio che \(a^2 \equiv a \mod 2 \).
Ok ti ringrazio
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