Relazione di equivalenza

Ciao a tutti,
sto leggendo qualcosa sugli insiemi e mi sono imbattuto nella relazione di equivalenza tra elementi di un insieme.
Questa presenta la proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.
In particolare mi ha "colpito" la seconda:

\(\displaystyle \forall a,b \in A : a\mathfrak{R}b \Longrightarrow b\mathfrak{R}a \)

Perché è presente il se...allora e non il se e solo se visto che è una relazione di equivalenza? Se io dovessi dire che b è in relazione con a (relazione di equivalenza) non mi basterebbe per sapere che a è in relazione con b?

Beh, ai matematici piace essere minimali.

Beh, ai matematici piace essere minimali.

Cioè si cerca di utilizzare sempre la condizione più debole? (Si dice così?)
Però la mia affermazione non è errata vero?

Più che altro quando si può risparmiare, si risparmia. Non per forza si cerca la forma più debole. Tornando al tuo esempio, perché scrivere
\[\forall x,y \in A \colon x \sim y \Leftrightarrow y \sim x\] quando in
\[\forall x,y \in A \colon x \sim y \Rightarrow y \sim x\] c'è anche l'implicazione inversa? Se guardi bene e capisci l'influenza di \(\forall\) sulle variabili, ti rendi conto che è così.
Quindi: in Matematica quando puoi risparmiare, fallo. Ovviamente non è un imperativo; è solo questione di "pulizia": perché non risparmiare inchiostro quando l'apparato teorico continua ad essere potente alla stessa maniera una volta eliminate le "rindondanze"?
In realtà ci sarebbe una buona motivazione in questa scelta: fa comodo per indagini metateoriche avere a che fare con minimalismi, per maneggiamenti varii o per far emergere dei pattern tra strutture molto diverse tra loro (che poi molte volte finiscono per diventare labili o apparenti).

Più che altro quando si può risparmiare, si risparmia. Non per forza si cerca la forma più debole. Tornando al tuo esempio, perché scrivere
\[\forall x,y \in A \colon x \sim y \Leftrightarrow y \sim x\] quando in
\[\forall x,y \in A \colon x \sim y \Rightarrow y \sim x\] c'è anche l'implicazione inversa? Se guardi bene e capisci l'influenza di \(\forall\) sulle variabili, ti rendi conto che è così.
Quindi: in Matematica quando puoi risparmiare, fallo. Ovviamente non è un imperativo; è solo questione di "pulizia": perché non risparmiare inchiostro quando l'apparato teorico continua ad essere potente alla stessa maniera una volta eliminate le "rindondanze"?
In realtà ci sarebbe una buona motivazione in questa scelta: fa comodo per indagini metateoriche avere a che fare con minimalismi, per maneggiamenti varii o per far emergere dei pattern tra strutture molto diverse tra loro (che poi molte volte finiscono per diventare labili o apparenti).

Diciamo che non avendo frequentato un corso di laurea di matematica all'Università non ho ancora acquisito la capacità di capire le "sottigliezze".
Perché mi hai detto "Se guardi bene e capisci l'influenza di per ogni..." Qual è il meccanismo che dovrei comprendere?

Allora... In matematica ci sono delle frasi che contendgono delle variabili. Queste sono semplicemente dei segnaposti, degli "spazi vuoti" da riempire con qualcosa (se hai fatto informatica potresti a nomi a cui affidi un valore). C'è una regola molto semplice: ogni volta che ad una variabile sostituisci un qualcosa devi fare questa sostituzione per tutte le occorrenze in cui si presenta quella variabile. Prendiamo la frase con segnaposti del tuo esempio
\[a \sim b \Rightarrow b \sim a\,.\] Il quantificatore \(\forall\) con i simboli su cui agisce messi subito dopo dice essenzialmente che "la frase è vera per ogni sostituzione che fai a quelle variabili". Quindi potrei fare così: metto al posto di tutte (vedi quanto ho detto all'inizio) le \(a\) la \(b\) e al posto delle \(b\) le \(a\), ed hai
\[b \sim a \Rightarrow a \sim b\,,\] cioè l'implicazione con la freccia cambiata di verso. Come vedi in questo caso, grazie al quantificatore universale, \(\forall a,b \colon a \sim b \Rightarrow b \sim a\) contiene implicitamente anche l'implicazione inversa.
Se questo ti sembra astruso, puoi pensare così: prendo una generica coppia \(x_0\) e \(y_0\) tali che il primo oggetto sia in relazione con il secondo. Se la relazione è simmetrica, allora il secondo è in relazione con il primo. Ma trattandosi di una relazione simmetrica, da \(y_0 \sim x_0\) abbiamo allora (ancora) che il primo è in relazione col secondo. Come vedi in questo caso l'implicazione ti basta, e metterci \(\Leftrightarrow\) è sovrabbondante perché "ripetitivo".

Allora... In matematica ci sono delle frasi che contendgono delle variabili. Queste sono semplicemente dei segnaposti, degli "spazi vuoti" da riempire con qualcosa (se hai fatto informatica potresti a nomi a cui affidi un valore). C'è una regola molto semplice: ogni volta che ad una variabile sostituisci un qualcosa devi fare questa sostituzione per tutte le occorrenze in cui si presenta quella variabile. Prendiamo la frase con segnaposti del tuo esempio
\[a \sim b \Rightarrow b \sim a\,.\] Il quantificatore \(\forall\) con i simboli su cui agisce messi subito dopo dice essenzialmente che "la frase è vera per ogni sostituzione che fai a quelle variabili". Quindi potrei fare così: metto al posto di tutte (vedi quanto ho detto all'inizio) le \(a\) la \(b\) e al posto delle \(b\) le \(a\), ed hai
\[b \sim a \Rightarrow a \sim b\,,\] cioè l'implicazione con la freccia cambiata di verso. Come vedi in questo caso, grazie al quantificatore universale, \(\forall a,b \colon a \sim b \Rightarrow b \sim a\) contiene implicitamente anche l'implicazione inversa.
Se questo ti sembra astruso, puoi pensare così: prendo una generica coppia \(x_0\) e \(y_0\) tali che il primo oggetto sia in relazione con il secondo. Se la relazione è simmetrica, allora il secondo è in relazione con il primo. Ma trattandosi di una relazione simmetrica, da \(y_0 \sim x_0\) abbiamo allora (ancora) che il primo è in relazione col secondo. Come vedi in questo caso l'implicazione ti basta, e metterci \(\Leftrightarrow\) è sovrabbondante perché "ripetitivo".

Grazie mille ora credo di aver capito la sottigliezza (senza spiegazione non ci sarei mai arrivato).