Dilemma logico

Buongiorno a tutti,

Sono tutt'altro che un esperto di matematica. Comunque stavo ragionando sulla cardinalità degli insiemi infiniti e sono arrivato ad una questione che non riesco a risolvere. Vorrei capire dove sto sbagliando.

Allora:

- l'insieme di tutti i numeri reali tra 0 e 1 dovrebbe avere la stessa cardinalità dei numeri naturali

- l'insieme di tutti i numeri razionali derivanti dalla divisione di 1 per tutti i numeri naturali dovrebbe avere la stessa cardinalità dei numeri naturali

- dal momento che l'insieme di tutti i numeri reali tra 0 e 1 contiene anche tutti i numeri irrazionali e ha la stessa cardinalità dei numeri razionali derivati dalla divisione di 1 per tutti i numeri naturali (cioè quella dei numeri naturali) ed entrambi gli insiemi sono compresi tra 0 e 1, si dovrebbe dedurre che l'insieme dei numeri razionali di 1 diviso i numeri naturali contenga anch'esso tutti i numeri irrazionali tra 0 e 1 e che quindi che i numeri irrazionali tra 0 e 1 possano essere esprimibili da frazioni come numeri razionali.

È un paradosso di cui non riesco a venire a capo. Dove sbaglio?

Grazie per l'aiuto!

l'insieme di tutti i numeri reali tra 0 e 1 dovrebbe avere la stessa cardinalità dei numeri naturali

Questo è clamorosamente falso.

L’intervallo $[0,1]$ ha la stessa cardinalità di $RR$, maggiore di $NN$.