Ordine di un insieme

Salve ragazzi e buone fatte feste!

Studiando algebra 1 sul libro "Elementi di algebra" del prof De Giovanni, mi sono accorto che, quando tratta gli insiemi finiti e il loro ordine, dà per scontato che in una partizione l'ordine dell'unione degli elementi sia la somma degli ordini.
Ho dunque pensato di dimostrarlo per conto mio ma non so proprio da dove cominciare, anche se intuitivamente il concetto mi sembra piuttosto chiaro e semplice. Potete darmi uno spunto per la dimostrazione (in primis per il suo "enunciato")?

Confido nel vostro aiuto!

Se lo dimostri per una partizione costituita da due elementi, poi è facile estendere per induzione il risultato per una partizione di $n$ elementi. Siano $S$ e $T$ insiemi disgiunti di ordini rispettivamente $m$ e $n$, e siano $f:S->I_m$ e $g:T->I_n$ applicazioni biettive. Occorre dimostrare che esiste un'applicazione biettiva di $SuuT$in $I_(m+n)$. Definiamo dunque $h:SuuT->I_(m+n)$, ponendo $h(x)=f(x)$ se $x in S$, e $h(x)=g(x)+m$ se $x in T$.

È per definizione di somma.

La somma di due cardinalità $a$ e $b$ si calcola così: si prendono insiemi disgiunti $A$ e $B$ con $|A|=a$, $|B|=b$ e si definisce

$a+b := |A uu B|$.

Prova a riguardarti la definizione di somma.

Il caso generale (somma di $n$ cardinalità) lo puoi fare per induzione.

Inanzi tutto vi ringrazio per la disponibilità

Se lo dimostri per una partizione costituita da due elementi, poi è facile estendere per induzione il risultato per una partizione di $n$ elementi. Siano $S$ e $T$ insiemi disgiunti di ordini rispettivamente $m$ e $n$, e siano $f:S->I_m$ e $g:T->I_n$ applicazioni biettive. Occorre dimostrare che esiste un'applicazione biettiva di $SuuT$in $I_(m+n)$. Definiamo dunque $h:SuuT->I_(m+n)$, ponendo $h(x)=f(x)$ se $x in S$, e $h(x)=g(x)+m$ se $x in T$.

Si, mi trovo con il tuo ragionamento. Il discorso fila e, sfruttando il fatto che gli insiemi S e T sono disgiunti, si può concludere che sia il dominio che il codominio sono delle partizioni e che quindi la funzione ottenuta "incollando" le due funzioni biettive è biettiva a sua volta.

È per definizione di somma.

La somma di due cardinalità $ a $ e $ b $ si calcola così: si prendono insiemi disgiunti $ A $ e $ B $ con $ |A|=a $, $ |B|=b $ e si definisce


$ a+b := |A uu B| $.

Prova a riguardarti la definizione di somma.

Il caso generale (somma di $ n $ cardinalità) lo puoi fare per induzione.

Purtroppo abbiamo dato poca attenzione (non capisco perchè) alle definizioni di somma che riguardasse la cardinalità o l'ordine. Anzi, se qualcuno fosse così gentile da consigliarmi un testo o un sito su cui poter trovare delle definizioni chiare e rigorose, gliene sarei grato!