Elementi centrali.

Buonasera, se considero un'operazione interna $**$ in $ZZ$ definita $(x**y)=x^2+y-1$, risulta essere non commutativa in effetti per $x=0$ e $y=2$ risulta $0**2=1$ e $2**0=3$,pertanto non è commutativa. Invece per $x=1 $ e $y=0$ si ha $1**0=0=0**1$ cioè $1,0$ sono permutabili.

Ora se volessi determinare gli elementi centrali in $ZZ$, dove: $x in S$ dicesi centrale rispetto a $**$ se è permutabile con ogni elemento di $S$.
Nella fattispecie dovrebbe risultare $1**y=y**1, \\ forall in ZZ$ qualora $1$ fosse centrale, ma $1**y=y**1 <=> 1+y-1=y^2+1-1 <=> y=y^2$ questa è vera "ovviamente" solo per $y=1$, quindi $x=1$ non è centrale.
Vi chiedo in generale come si fa ?

Ciao

Buongiorno, scusami se rispondo solo ora ma sono stato un pò preso dagli esami. Comunqie grazie per la risposta.

In generale non so nemmeno se abbia senso però parlare di centro per strutture non associative (o magari ha senso ed è solo inutile).

Sul libro non viene detto nulla di specifico anzi, si parla di una generica legge interna in un insieme $S$ cioè,

Sia $**$ una legge interna in $S$, siano $x,y in S$ si dicono permutabili se $x**y=y**x.$
Un elemento chiamasi centrale $$ se è permutabile con ogni elemento di $S.$

Qualche esempio, sia $**$ l'operazione binaria in $S={A : A in M_(n,n)(K)}$ tale che

$A**B=AB \ qquad forall A,B in S$

quindi si ha che la matrice identità $I_n$ di ordine $n$, è un elemento centrale per $S$, infatti si ha

$AI_n=I_nA, \qquad forall A in S.$

Un'altro esempio che è simili al precedente cioe, sia l'operzione binaria in $S^S$ tale che

$f**g=f circ g \ qquad forall f,g, in S^S$

quindi si ha che l'applicazione identità $Id.S$, è un elemento centrale per $S^S$, infatti si ha

$f circ Id.S=Id.S circ f, \qquad forall f in S^S.$

Comunque per le "classiche" operazioni non mi viene nulla, puoi fare qualche esempio tu ?


Ciao

Il prodotto di matrici e la composizione di funzioni sono associative; la domanda era se la nozione di elemento centrale di un magma è di qualche interesse.

La divisione \(M_n(K)^\times \times M_n(K)^\times \to M_n(K)^\times : (x,y)\mapsto xy^{-1}\) non è associativa (prendo solo elementi invertibili per avere un'operazione interna, ovviamente gli invertibili sono le matrici di GL), così come non lo è l'esponenziazione (per esempio nei numeri naturali) \(\mathbb N\times \mathbb N \to \mathbb N : (m,n)\mapsto m^n\); il prodotto vettoriale in \(\mathbb R^3\) non è associativo; nemmeno la differenza insiemistica \(2^X \times 2^X \to 2^X\) (con alcune convenzioni ovvie se i due insiemi non si intersecano) lo è; la media binaria \((x,y)\mapsto \frac{x+y}{2}\) non è associativa...

Insomma, un po' di fantasia, e in assenza di quella, google.

esempio di una legge interna in $S$ non commutativa, ma che abbia elementi centrali in $S$.

Non associativa. Il punto è l'utilità del centro di strutture non associative.

Si arnett, se per $Q_8$ intendi il gruppo dei quaternioni, il centro è ${-1,1}$ perchè si ha

$1a=a1 \ qquad forall a in Q_8$

$-1a=-a1 \ qquad forall a in Q_8$

dove per convenzione si ha "sempre se ti riferisci a tale gruppo"
$i^2=j^2=k^2=1$, $ij=k=-jk$, $jk=i=-kj$ e $ki=j=-ik$ per tale motivo è gruppo non abeliano ma ammette elementi centrali.

Comunque grazie mille arnett per il suggerimento. solaàl avevo chiesto un esempio di una generica legge interna non commutativa ma che abbia elementi centrali.