Le radici complesse di un polinomio vanno in coppia

Ad esempio se z ( appartenente al campo C ) è radice di un polinomio irriducibile in R ,anche il coniugato di z è radice. Tale proprietà vale per tutti i campi ? Esempio in Q il polinomio irriducibile $ x^2 -3 $ ha come radici in R la coppia +/-$ sqrt (3) $

Cioè le radici del sopracampo del sottocampo sono sempre in coppia (le altre eventuali radici appartengono al sottocampo).

Grazie

No, il fatto che vengono in coppia è a causa della coniugazione complessa, che è un $RR$-automorfismo di $CC$ di ordine $2$. È una questione che riguarda la teoria di Galois. Se il gruppo di Galois del polinomio (sul campo dei coefficienti) non ha elementi di ordine 2 non c'è modo in cui le radici appaiano accoppiate.

Se vuoi un esempio $x^3-3x+1$. Le radici sono $2 cos(k pi//9)$ dove $k = 1, 5, 7$.

Grazie, non lo sapevo. PS: sto studiando algebra al primo anno politecnico, quindi la tua risposta non l'ho capita completamente (l'esempio del polinomio di Q[X] con tre radici reali sì però) . Il gruppo del polinomio che hai scritto quindi non ha elementi di ordine due? R[X] invece sì ? grazie