Non transitivà della normalità

Sia $K$ sottogruppo normale di $H$ sottogruppo normale di $G$

$K=<(12),(34)>$
$H=<Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)>$
$G=sym(4)$

Dimostrare che $K$ non è normale in $G$.

Mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua e non riesco a dimostrare la tesi.
L'ordine dei gruppi è:
$|K|=2$, $|H|=4$ e $|G|=24$

Dovrei infatti dimostrare uno dei seguenti fatti:
$gK!=Kg$ per qualche $g in G$
$K^g!=K$ per qualche $g in G$

Ma da qui non riesco più ad uscirne

Grazie a chi mi aiuterà

Quanto fa $((1, 2))^{((1, 2, 3))}$?

$(1 2 3)^(-1) (1 2) (1 2 3)$ $=(1 3 2) (1 2) (1 2 3)$ $=(3 2)$ che non appartiene a $K$.
Giusto?

Ho sbagliato a scrivere nel post.
$K=<(12)(34)>$

Altrimenti $K$ non è normale in $H$.

Dunque vale ancora l'esempio fatto?

Beh fai i conti, no?

Ho provato che

$((12)(34))^(1234)$ $=(14)(32)$ che non appartiene a $K$.
Corretto?

Sì

Grazie