Sottogruppi caratteristici di S4

Buonasera a tutti,
devo dimostrare che $V_4$= gruppo dei doppi scambi di $S_4$ è un sottogruppo caratteristico di $A_4$, ma sono in un vicolo cieco:
Ho che $\theta$ ($A_4$) = 12 = $2^2$3 $=>$ per Sylow ho che esistono 2-Sylow e 3-Sylow, ed in questo caso $EE$! 2-Sylow e si tratta proprio di $V_4$ e, per la sua unicità posso affermare che $V_4$ è normale in $A_4$.
Il problema è questo: il fatto che sia normale non mi garantisce che sia un sottogruppo caratteristico.
Come posso procedere?

Grazie a tutti!

$V_4$ e' il sottogruppo dei commutatori di $A_4$.

Un Sylow normale è pure caratteristico. (Perché?)

Da un precedente esercizio ho dimostrato che dato un gruppo G,
se H è l'unico sottogruppo di cardinalità |H| $Rightarrow$ H è un sottogruppo caratteristico di G
è possibile che sia legato a questo?
Cioè $V_4$ è l'unico sottogruppo di cardinalità 4 di $A_4$ $Rightarrow$ $V_4$ è caratteristico?

$V_4$ e' il sottogruppo dei commutatori di $A_4$.

Perdonami ma non ho capito il suggerimento

$ V_4 $ e' il sottogruppo dei commutatori di $ A_4 $.

Perdonami ma non ho capito il suggerimento

Il sottogruppo dei commutatori di un qualsiasi gruppo e' caratteristico.

Si vede facilmente. E' molto piu' elementare della teoria di Sylow.