Caratterizzazione della funzione composta.

Buonasera,

Volevo chiarire alcuni passi della seguente dimostrazione.
Siano $S,T,V$ non vuoti, $f:S to T$ e $g:T to V$, allora:
Se $\ g circ f $ è iniettiva e $f$ suriettiva, allora $g$ è iniettiva.

La tesi consiste nel far vedere che presi $y , y' in T \:\ g(y)=g(y') \to\ y=y'$
Siano infatti $y, y' in T$ per cui $g(y)=g(y')$, inoltre dalla suriettività della funzione $f$, abbiamo
$exists x, x' in S \:\ y=f(x) \"e"\ y=f(x')$, quindi per la definizione della funzione composta abbiamo
$g(y)=g(f(x))=(gcircf)(x)$
$g(y')=g(f(x'))=(gcircf)(x')$
allora
$g(y)=g(y') leftrightarrow (gcircf)(x)=(gcircf)(x')$ dall'iniettività della composta risulta $x=x'.$
Quindi ad elementi uguali corrispondo immagini uguali, cioè
$y=f(x)=f(x')=y' \to\ y=y'$, quindi la tesi.

Volevo sapere se ci sono problemi oppure va bene.

Ciao

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Supponi per assurdo che $g$ non sia iniettiva. In tal caso, $\EE t,t'\in T, t\ne t'$, tali che $g(t)=g(t')$; ma poichè $f$ è suriettiva, $\EE s,s'\in S$ tali che $t=f(s), t'=f(s')$ e quindi tali che $g(f(s))=g(f(s'))$; ora, per l'iniettività di $gf$, dev'essere $s=s'$, da cui $t=t'$: contraddizione. Quindi $g$ è iniettiva.

Comunque la tua dimostrazione mi sembra corretta.

Ultima modifica di luca69 il 18/06/2020, 11:24, modificato 1 volta in totale.

@pasquale 90
secondo me la tua dimostrazione è corretta

Vi ringrazio, sostanzialmente lo so che la dimostrazione è corretta essendo la dimostrazione del mio libro.
Infatti ho commentato i passaggi per essere sicuro che l'abbia capita e confrontarmi con voi.

Comunque grazie ancora.