Unione di parti stabili.

Buongiorno,

Volevo provare:
se prendo due insiemi $A,B ne emptyset$ i quali risultano stabili per $omega$, allora
$AcupB$ stabili per $omega$ se e solo se $AsubseteqB$ o $BsubseteqA.$

$to$
$"hp." \ qquad AcupB$ stabili per $omega,$
$"th." \ qquad AsubseteqB \ qquad leftrightarrow \ qquad a in A to a in B.$
Siano $a in A\,\ b in B\:\ b notin A$, $a\omega\b in AcupB$
1) $a\omega\b in A leftrightarrow a,b in A leftrightarrow a in A , b in A$
2) $a\omega\b in B leftrightarrow a,b in B leftrightarrow a in B , b in B$
La 1) viene esclusa, in virtù del fatto che $b notinA$, quindi, rimane la 2), cioè $a in B$, quindi la tesi.

$leftarrow$
$"hp." \qquad AsubseteqB$
$"th." \qquad AcupB$ stabile
Se vale $hp.$ allora $AcupB=B$, poiché $B$ è stabile si ha la tesi.

vi chiedo se quanto scritto ha senso, sono un pò titubante sull'implicazione che va da sinistra verso destra.
Ciao

Beh, ma cos'è \(\omega\), a parte una lettera dell'alfabeto greco?

Si, sono stato poco chiaro.
Voglio dire $A, B subseteq S$, e con $omega$ legge interna in $S$, quindi $omega$ legge interna.
Specificato quello che non ho specificato può andare bene ?