Insiemi e una curiosità

Se possibile, vorrei che qualcuno mi fornisse delle definizioni, semplici ma corrette, di insieme completo e di insieme compatto e, soprattutto, mi indicasse se esistono delle relazioni tra queste due definizioni (cioè se un insieme completo può essere compatto e viceversa e sotto quali condizioni!).

Infine, nella dimostrazione del teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale (applicato alla risoluzione del problema di Cauchy, y'=f(x,y) e y(x0)=y0), si individua il massimo del modulo della funzione f(x,y) (continua e lipschitziana), adducendo come assicurazione dell'esistenza del massimo il Teorema di Weierstrass. Vorrei allora sapere come tale teorema, che assicura l'esistenza del massimo di f (continua), possa esssere esteso al modulo di f.

Grazie di cuore.

penso non ci siano dubbi....il modulo di una funzione è comunque una funzione e se è continua ammette max ass per weirestrass...spero di non aver capito male la domanda...

Se possibile, vorrei che qualcuno mi fornisse delle definizioni, semplici ma corrette, di insieme completo e di insieme compatto e, soprattutto, mi indicasse se esistono delle relazioni tra queste due definizioni (cioè se un insieme completo può essere compatto e viceversa e sotto quali condizioni!).

In $R$ (con la topologia usuale) un insieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Insieme completo? Sicuro? Si dice che $R$ è completo perché ogni insieme superiormente limitato ammette sup.