Non ci sono piu' le monete di una volta...

Questo problema e' ben noto ma veramente carino:

Non le fanno piu' come una volta. Non c'e' niente da fare.
Ci e' data una moneta, ma potrebbe essere truccata, e noi
non conosciamo la probabilita' $0<p<1$ di avere testa.
Stabilire, con prova, come avere una risposta non truccata
(probabilita' $1/2$) dalla moneta.

Io effettuerei un grande numero di lanci osservando la distribuzione delle teste e delle croci

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Interessante. Dimostriamo una tesi piu' forte.

Abbiamo una moneta che dà testa con probabilità $0<p<1$. La usiamo per "simulare" una moneta che dà testa con probabilita' $q$, con $q\in QQ$, $0<q<1$ e $q$ scelto a piacere.

Sia allora $q=m/n$, con $m,n\in NN$ e $m<n$. Consideriamo come spazio degli eventi l'insieme delle stringhe binarie di lunghezza $n$, che rappresentano una sequenza di $n$ lanci della moneta ($0$ testa, $1$ croce). Consideriamo l'insieme $A$ delle stringhe binarie che contengono un solo $0$. Indichiamo con $T$ il sottinsieme di $A$ formato dalle stringhe che contengono lo $0$ in una delle prime $m$ posizioni. $T$ rappresenta la testa, $A\\T$ la croce. Abbiamo che

$P(T|A)=(P(A\nn T))/(P(A))=(P(T))/(P(A))=(m p(1-p)^(n-1))/(np(1-p)^(n-1))=m/n$

Dunque il nostro algoritmo e' questo. Lanciamo la moneta $n$ volte. Se la stringa che viene fuori non e' in $A$, annulliamo e rilanciamo. Se invece la stringa e' in $A$, diremo che e' uscita testa se la stringa e' in $T$, altrimenti diremo che e' uscita croce. Per costruzione, la probabilita' della "testa" e' $m/n$.

Questo problema e' ben noto ma veramente carino:

Non le fanno piu' come una volta. Non c'e' niente da fare.
Ci e' data una moneta, ma potrebbe essere truccata, e noi
non conosciamo la probabilita' $0<p<1$ di avere testa.
Stabilire, con prova, come avere una risposta non truccata
(probabilita' $1/2$) dalla moneta.

Io, oltre a fare tante prove, guarderei anche quante sono le successioni di teste consecutive.

Se è una moneta equa c'è da aspettarsi, ad esempio, che le successioni di 7 teste consecutive su 100 lanci siano
in media tot..

Francesco Daddi

Ci vorrebbero molte monete diverse....

Ogni metodo "statistico" non assicura una risposta certa,
e non risolve il problema. Per inciso, sembra che sia stato posto
per la prima volta da John von Neumann,
e per molto tempo si e' cercato un algoritmo ottimo per tutti i
valori di $p$, ma e' stato poi dimostrato che tale
algoritmo non esiste.
L'algoritmo naive e' comunque elementare
(il che, ovviamente, non significa che sia facile da vedere).

Hint:

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Sfruttare la simmetria nello spazio campione dell'esperimento:
"lancio 2 monete".

@fields:

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Beh, grazie! Non mi ero accorto che si potesse generalizzare in quel modo
Farei bene a proporti ogni mio problema, c'e' sempre da imparare da te
La mia soluzione si basava sul fatto che la geometrica
$sum_{k=0}^{\infty} (1-2p(1-p))^k$ converge a $1/(2p(1-p))$
da cui si arriva alla tesi con il tuo algoritmo applicato al caso "2 lanci".