Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
15/09/2023, 14:52
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Siano dati i gruppi \(\displaystyle G = Z_4 * Z_3 \) e \(\displaystyle H = Z_2 * Z_6 \). Esiste un isomorfismo dei gruppi additivi \(\displaystyle G \) e \(\displaystyle H \)?
Non mi è chiara questa cosa: per il teorema cinese dei resti io so che \(\displaystyle G = Z_4 * Z_3 \) è isomorfo a \(\displaystyle Z_{12} \), in quanto 4 e 3 sono coprimi. Allo stesso modo però so che \(\displaystyle H = Z_2 * Z_6 \) non è isomorfo a \(\displaystyle Z_{12} \) perché 2 e 6 non sono coprimi. Questo mi basta per poter dire che non esiste un isomorfismo tra G e H (cioè il fatto che G sia isomorfo a un gruppo a cui H non lo è)?
PS non ho la soluzione dell'esercizio quindi non so se effettivamente sono isomorfi o meno.
15/09/2023, 16:09
\(*\) è il prodotto? Se sì, perché non lo indichi con \(\times\)? \(*\) potrebbe far pensare al prodotto libero...
Non sono isomorfi. Scegli il motivo che preferisci
- in $G$ c'è un elemento di ordine 4, in $H$ no.
- \(G\cong \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/3\) (sempre per CRT), e se $G$ fosse isomorfo ad $H$ significherebbe che \(\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2\cong \mathbb{Z}/4\), cosa che non è vera (il prodotto cartesiano con un gruppo finito è una operazione cancellativa)
- il teorema di classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati
- eccetera
- che da lontano sembrano mosche
15/09/2023, 19:31
martina1782 ha scritto: Questo mi basta per poter dire che non esiste un isomorfismo tra G e H (cioè il fatto che G sia isomorfo a un gruppo a cui H non lo è)?
Sì, basta
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