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francicko ha scritto:Chiedo scusa ho scritto malissimo la domanda, cerco di essere più chiaro!
Sia $Q$ il campo dei razionali, $p(x)$ un polinomio di grado $n$ ivi irriducibile, $(x_1,x_2,...,x_n)$ le sue radici distinte, le estensioni $Q(x_1)~~Q(x_2)~~,...,~~Q(x_n)$ risulteranno tra loro isomorfe mi sbaglio?
Supponiamo ora che risulti $Q(x_1,x_2,..x_i...,x_n)=Q(x_1)$ e sia $phi$ un automorfismo risultera $phi(x_i)=x_j$ in quanto una radice verrà mandata in un altra radice ,giusto?
Prendiamo una qualsiasi radice $x_1$ possiamo considerare i distinti automorfismi $phi_1: x_1->x_1$, $phi_2: x_1->x_2$, $phi_1: x_1->x_3$,....., $phi_n: x_1->x_n$, dico che questi sono gli unici automorfismi distinti in numero di $n$ del campo di spezzamento $E=Q(x_1,x_2,....,x_n)=Q(x_1)$, per mostrarlo dovrei fare vedere che comunque preso un qualsiasi automorfismo esso ha la forma di uno dei su indicati, si può fare?
11/10/2023, 12:41
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