Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
08/02/2024, 19:50
Ciaoa a tutti. nelle prime pagine del libro mi si definisce un insimee I_n={1,..n} per ogni n in N.
Mi chiedevo però se era da intendere anche come infinito, in effetti il concetto oo non esiste come "punto" nei naturali, quindi se ho ben intenso I_n è un qualcisasi insieme finito (mai infinito) di naturali, cioè in sottoinsieme finito di N?
Grazie
Ultima modifica di
pantagruele il 11/02/2024, 15:07, modificato 1 volta in totale.
08/02/2024, 21:07
Grazie mille, il dubbio mi era venuto perché spesso si usa
$∪_iA_i, i in I_n$, in tal caso è per quanto detto evidentemente una unione finita (per il motivo suddetto che n=oo non esiste propriamente ed è del tutto insensato)
Mentre se scrivo $∪_iA_i, i in NN$ intendo di solito unione infinita, riflettendoci avevo pensato "infinita" nel senso che n varia in tutto N (infinito numerabile), non tanto perché esista un n=oo ma piuttosto perché intendo che prendo un qualsiasi naturale. Il fatto però è che qua mi incasino coi concetti perché mi viene da dire: "si ma n lo fisso di volta in volta e quindi come fa a essere una unione infinita se n=oo è insensato?" Mi pare sempre finita (come nel caso 1).
10/02/2024, 15:31
Nessun ulteriore aiuto?
volevo davvero capire questa cosetta
10/02/2024, 16:41
E' che non si capisce cosa vuoi capire.
10/02/2024, 16:41
Non si capisce il tuo dubbio, nel secondo caso è un'unione infinita, e quindi? È un'unione di una famiglia infinita di insiemi. La notazione che si usa di solito è
$bigcup_(i in NN) A_i$
e più in generale se hai un insieme $I$ di indici puoi scrivere
$bigcup_(i in I) A_i$
L'insieme $I$ può essere finito o infinito, come preferisci. Se $I={1,...,n}$ allora puoi scrivere anche
$bigcup_(i=1)^n A_i$
Di solito la scrittura
$bigcup_(i=1)^(oo) A_i$
indica un'unione infinita dove è da intendersi che $i$ varia in $NN$. È solo una notazione. In altre parole
$bigcup_(i=1)^(oo) A_i = bigcup_(i in NN) A_i$
dove naturalmente intendo che $NN$ è l'insieme di tutti i numeri naturali a partire da $1$.
11/02/2024, 11:32
Grazie per le risposte.
Il mio dubbio in realtà è solo notazionale e non così profondo. Riesco a capire una "unione infinita" e non mi disturba, però non capisco perché notazionalmente sia corretto provo a spiegarmi.
$N$ è finito numerabile, però $oo!inNN$, insomma infinito non è da intendersi come concetto di numero.
Quindi quando scrivo $I_n={1,....,n}$ non capisco perché possa essere infinito se do un "n" di termine chiamiamolo così. Ho un insieme finito per me $n!oo$ sempre. Da quanto diceva megas_ mi pareva di capire fosse corretto invece sbaglio $I_n$ può essere infinito?
L'altro dubbio è simile: $bigcup_(i=1)^n A_i, i in NN$ dovrebbe essere equivalente a $bigcup_(i=1)^oo A_i$, ma di nuovo quando nella prima delle due pongo $i in NN$ io immagino un "n" di "fine unione" ma n non esiste come infinito quindi non capisco come possa quella notazione funzionare e sommare a infinito.
11/02/2024, 13:19
Continuo a non capire i tuoi dubbi.
pantagruele ha scritto:$NN$ è finito numerabile, però $oo!inNN$, insomma infinito non è da intendersi come concetto di numero.
Esatto.
Quindi quando scrivo $I_n={1,....,n}$ non capisco perché possa essere infinito
L'insieme $I_n$ è finito, NON è infinito. Come ti viene in mente che possa essere infinito?
L'altro dubbio è simile: $bigcup_(i=1)^n A_i, i in NN$ dovrebbe essere equivalente a $bigcup_(i=1)^oo A_i$
Assolutamente no, sono due cose diversissime.
$bigcup_(i=1)^n A_i$ è uguale all'unione FINITA $A_1 uu ... uu A_n$,
$bigcup_(i=1)^oo A_i$ è uguale all'unione INFINITA $A_1 uu A_2 uu A_3 uu ...$ (dove i puntini a destra stanno ad indicare che devi andare avanti indefinitamente).
La scrittura $bigcup_(i=1)^oo A_i$ è solo una notazione (solo una notazione!) per indicare che stai facendo un'unione infinita di tutti gli $A_i$ con $i in NN$, non è da considerarsi un caso particolare di $bigcup_(i=1)^n A_i$, che invece è un'unione finita.
11/02/2024, 14:59
Ciao e grazie, scrivo il messaggio solo per conferma ma mi pare ora tutto tornare e aver capito dove avevo preso degli abbagli grazie alla tua risposta. Vediamo:
L'insieme $I_n$ è finito, NON è infinito. Come ti viene in mente che possa essere infinito?
In effetti inizialmente pensavo fosse finito. ma poi credo di aver travisato la tua prima risposta:
L'insieme $I$ può essere finito o infinito, come preferisci. Se $I={1,...,n}$
L'avevo intesa come $I:=I_n={1,...,n}$ e che dicessi $I=I_n$ può essere infinito.
Invece credo intendessi I può essere finito o infinito, quando $I_n={1,...n}$ è finito di n termini.
OK
Assolutamente no, sono due cose diversissime.
Ok, $bigcup_(i=1)^n A_i, i in NN$ è finita e non è da intendersi come unione su infinite. Pensavo che essendo n preso in N si volesse intendere "nell'insieme infinito" ma poi non mi ritrovavo con la notazione dato che $n !in NN$ e da qui figliavano gli altri dubbi.
Infine posso ora digerire $bigcup_(i=1)^oo A_i$ essendo notazione per compattare il concetto di unione infinita.
Ti ringrazio molto, mi ero avvitato su ste cacchiate.
Ultima modifica di
pantagruele il 13/02/2024, 13:01, modificato 2 volte in totale.
11/02/2024, 18:12
Correggo un typo di cui mi accorgo solo ora... in realtà volevo dire:
Ok, $bigcup_(i) A_i, i in NN$ è finita (non è infinita giusto?), avevo mischiato due cose col copia incolla.
Perché il dubbio sorgeva sul fatto che, quando fisso una i di "termine", mi pare di avere sempre in $i$ "numero" finito, stando $i in NN$
Era questo il dubbio che cercavo di esporre nel secondo messaggio: da una parte mi sembra che possa essere notazionalmente inteso come unione infinita esseno $NN$ infinito numerabile, d'altro caso io posso leggerla così: $i in NN$ e stando i nei naturali esso non sarà mai $i=oo$ (non esistendo come numero propriamente detto), quindi è insensato pensarla come unione infinita in tal caso ed essendo $i$ un qualsiasi naturale sarà una unione finita.
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