Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati

Date le quadruple Pitagoriche

$d=36*m^2+18*m+4*n^2+2*n+3$
,
$a=24*m*n+6*m+6*n+1$
,
$b=2*(3*m+n+1)*(6*m-2*n+1)$
,
$c=2*(3*m+n+1)$
,
$a^2+c^2=d^2-b^2=p$
,
$n=0$

per $n=0$ al variare di $m$ avremo potenziali numeri primi $p$ nella forma $p=4*h+1=d^2-b^2$ (poichè $d-b=1$ e $d$ è dispari e $b$ è pari)
dei quali conosciamo come si scrive come somma di due quadrati $p=a^2+c^2$

la mia domanda è:
si può determinare se tale scrittura è unica ?

Si’ la scrittura di un primo come somma di quadrati e’ unica (a meno di scambiare gli addendi ovviamente) perché scrivere un primo $p$ come somma di quadrati equivale a cercare un intero gaussiano di norma $p$, e una volta che ne hai trovato uno, chiamalo $x$, tutti gli altri sono $\pm x$ e $\pm\bar{x}$, che danno luogo alla stessa scrittura.

La domanda era un'altra:
Per $n =0$ variando $m$ nei naturali quella quadrupla ci da un numero $p=4*h+1=a^2+c^2=d^2-b^2$ che non sappiamo se è primo o no.
esempio per $m=1 -> p=113=7^2+8^2$
La domanda è :
come facciamo a sapere se questa scrittura è unica senza sapere che $p$ è primo?

Se $p$ non è primo e non è un quadrato la scrittura non è mai unica.

Se $p$ non è primo e non è un quadrato la scrittura non è mai unica.

$117=6^2+9^2$

Scusami ho detto una stupidaggine: la scrittura è unica se e solo se esiste al più un primo $\equiv 1\mod 4$ che divide $n$ e lo fa con esponente $1$. Comunque sta tutto scritto qua.

è vero che non esiste un numero non primo nella forma $4*k+1=a^2+b^2$ dove $a$ e $b$ sono unici o se sono unici il massimo comun divisore di $a$ e $b$ è diverso da $1$ ?

Si’ la scrittura di un primo come somma di quadrati e’ unica (a meno di scambiare gli addendi ovviamente) perché scrivere un primo $p$ come somma di quadrati equivale a cercare un intero gaussiano di norma $p$, e una volta che ne hai trovato uno, chiamalo $x$, tutti gli altri sono $\pm x$ e $\pm\bar{x}$, che danno luogo alla stessa scrittura.

Gentilmente mi faresti un esempio

$113=7^2+8^2$

$365=13^2+14^2$

Un esempio di cosa?

Un esempio di cosa?

un esempio di come si procede per vedere se la somma dei quadrati è unica.
(senza conoscere la primalità di p)
O non si può verificare?