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Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.

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25/10/2008, 14:46

fields ha scritto:Inoltre, asintoticamente, $|H|>=3/4|G|$ o $|H|>=[3/4|G|]+1$ non fa differenza; per cui non mi sembrava worth the effort modificare una prova semplice per migliorare, se e' possibile, la stima su $|H|$ in modo piuttosto insignificante.
La tua prova è valida se $|H|>3/4|G|$; per completare l'esercizio, quindi, basta risolvere il caso $4|H|=3|G|$.

25/10/2008, 15:05

aprendo e sfogliando i problemi del libro di algebra (prima o poi dovevo farlo) ho trovato proprio questo esercizio, al quale segue questo:

trovare un esempio di gruppo finito non abeliano ed un suo automorfismo che mandi esattamente tre quarti degli elementi di G nel proprio inverso... mentre il testo di avinlee88 è scritto come 'più di tre quarti'.... just for information :)

25/10/2008, 15:20

alvinelee88 ha scritto:A quanto ho capito, il tuo schema di ragionemtno è il seguente: Affermi che, fissato $ainH$, $Z(a)={binH|abinH}$, e dopo sostieni che ${binH|abinH}=H nn aH$.


Non era questo che intendevo. Non ho stabilito nessuna relazione fra $aHnnH$ e ${b\in H | ab\in H}$, ne' affermato che $Z(a)={binH|abinH}$.

Ho osservato invece che gli elementi di $aH nn H$ sono della forma $ah$, con $h\in H$ e $ah\in H$; dunque, se $ah\in aHnn H$, allora $h\in {b\in H | ab\in H}$. Ne segue che $|{b\in H | ab\in H}|>=|aHnnH|$. Poiche' $Z(a)\supseteq{binH|abinH}$, vale $|Z(a)|>=|aHnn H|.


Thomas ha scritto:trovare un esempio di gruppo finito non abeliano ed un suo automorfismo che mandi esattamente tre quarti degli elementi di G nel proprio inverso...


Bravo Thomas! :-D Ci hai evitato di cercare di dimostrare il falso ancora una volta! :smt013

25/10/2008, 16:07

fields ha scritto:
Ho osservato invece che gli elementi di $aH nn H$ sono della forma $ah$, con $h\in H$ e $ah\in H$; dunque, se $ah\in aHnn H$, allora $h\in {b\in H | ab\in H}$. Ne segue che $|{b\in H | ab\in H}|>=|aHnnH|$.

Probabilmente sono stupido, ma non mi torna. Te dici che un elemento $x inHnnaH$ è della forma $x=ah$, $h,ahinH$, giusto? E quindi ovviamente $hin{binH | abinH}$. Ma quando dici "Ne segue che $|{b\in H | ab\in H}|>=|aHnnH|$" intendi che $aHnnH subset {b\in H | ab\in H}$? Perchè se così fosse non mi torna, come ho spiegato prima. Mi torna invece prendendo $H nn a^(-1)H$. Dove sbaglio?
Per il resto avevo come pensavo capito male, la dimostrazione fila.
fields ha scritto:
Thomas ha scritto:trovare un esempio di gruppo finito non abeliano ed un suo automorfismo che mandi esattamente tre quarti degli elementi di G nel proprio inverso...


Bravo Thomas! :-D Ci hai evitato di cercare di dimostrare il falso ancora una volta! :smt013

eheh :-D

25/10/2008, 16:23

alvinlee88 ha scritto:Ma quando dici "Ne segue che $|{b\in H | ab\in H}|>=|aHnnH|$" intendi che $aHnnH subset {b\in H | ab\in H}$?


No. Vedila cosi': $aHnn H={ah_1,ah_2,...,ah_n}$, con $h_1,h_2,...,h_n\in H$. Dunque, ${b\in H | ab\in H}\supseteq {h_1,h_2,...,h_n}$; ecco perche' dico che $|{b\in H | ab\in H}|>=|aHnn H|$.



@Thomas
Che libro di algebra stai consultando?

25/10/2008, 16:34

fields ha scritto:
No. Vedila cosi': $aHnn H={ah_1,ah_2,...,ah_n}$, con $h_1,h_2,...,h_n\in H$. Dunque, ${b\in H | ab\in H}\supseteq {h_1,h_2,...,h_n}$; ecco perche' dico che $|{b\in H | ab\in H}|>=|aHnn H|$.

Grazie mille, sei stato chiarissimo e molto gentile. Comunque secondo me era un problema piuttosto bello, mi dispiace di non essere riuscito a risolverlo da solo. grazie ancora

fields ha scritto:@Thomas
Che libro di algebra stai consultando?

Scommetto l'Herstein!

25/10/2008, 19:04

scommetti bene avinlee88... "Algebra" di Herstein, per la precisione la V edizione pag.75!...

Re: Gruppo per cui $f(g)=g^(-1)$ per almeno $3/4$ di $|G|$.

11/04/2019, 03:10

In Verità il Problema NON è stato risolto o meglio la Soluzione NON è corretta.Infatti NON è stato dimostrato che $|aHnH|>$(3/4)|G|.Il fatto che |aH|>$(3/4)|G| e |H|>$(3/4)|G| NON implica la disuguaglianza precedente.La implica se H è un sottogruppo ma questo è proprio quello che si vuole ancora dimostrare e quindi non si può usare l'argomentazione data.Tuttavia è abbastanza facile dimostrare che gli ultimi due insiemi della catena di inclusioni ultima sono in realtà UGUALI tra loro e uguali a Z(a)nH.

Re: Gruppo per cui $f(g)=g^(-1)$ per almeno $3/4$ di $|G|$.

11/04/2019, 12:19

Dopo dieci anni ce ne faremo una ragione …
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