Come risolvere esercizi sulle strutture algebriche

Salve a tutti, sono alle prese con lo studio delle strutture algebriche per sostenere un esame di matematica discreta. La teoria mi è abbastanza chiara pero sugli esercizi ho difficolta perche non so da dove iniziare....mi spiego meglio.

UN eserzio svolto in aula è stato: abbiamo una legge di composizione

(+) : $ZZ$ x $ZZ$ --> $ZZ$

(+) ----> non ho idea di cosa significhi e un + con un cerchietto attorno

dobbiamo verificare se è valida, ovvero se vale la propieta associativa, se ha un elemento neutro ecc...??

l'esercizio si svolgeva cosi.

a) verifichiamo se è associativa

$AA$ x, y, z $in$$ZZ$ (x (+) y) (+) z = x (+) (y (+) z) -----> Fin qui l'ho capisco perchè è solo la ripetizione della proprieta

(x (+) y) (+) z = (x + y - z) (+) z = (x + y - z) + z - 2 = x + y + z - 4 -----> qui ce il buio totale

x (+) (y (+) z) = x (+) (y + z - 2) = x + (y + z -2) -2 = x + y + z - 4

appena capisco questa vado avanti con le altre proprieta

nessuno mi puo aiutare??

Non è che $\oplus$ è definita così: $AA x,y in ZZ$, $x\oplusy=x+y-2$ ?

Ultima modifica di Gi8 il 03/03/2011, 23:34, modificato 2 volte in totale.

Se non scrivi come opera $\oplus$ vien difficile aiutarti.

Ci deve essere una definizione di questa operazione binaria no?

come opera??

so solo che si chiama Somma diretta

Se non ti sei chiesto come opera allora c'è qualcosa che non ti è chiaro
La tua professoressa ha definito questa operazione $\oplus(x,y)=x+y-2$,ove $+$ è l'usuale addizione di $ZZ$. E ti si chiede di verificare se $(ZZ,\oplus)$ è un gruppo.

Per prima cosa devi verificare che è associativa, cioè $(x \oplus y) \oplus z= x \oplus (y \oplus z)$
Allora sfruttiamo la definizione dell'operazione ed otteniamo $(x+y-2) \oplus z = (x +y-2)+z-2=x+y+z-4$.
$x \oplus (y\oplus z)=x \oplus (y+z-2)=x+(y+z-2)-2=x+y+z-4$.

Poichè le due quantità coincidono allora vale tale proprietà.

Tutto dipende da come è stata definita la $\oplus$

@Vecio88: la somma diretta è definita per sottospazi di un dato spazio vettoriale. Nel tuo caso, indica una generica operazione che è stata definita dal testo dell'esercizio e devi verificare se per essa valgono certe proprietà. Ma si poteva usare un qualunque simbolo, non è detto che tu debba utilizzare per forza quello. Per le somme dirette fra sottospazi lineari si usa quel simbolo, forse è questo che ti ha portato a confonderti. In ogni caso sei in due ambiti completamente diversi.

Hai ragione ho trovato quello che dici tu era nella traccia. Percio devo sostituire a tutti gli

x ⊕ y --> x+y-2??

se è giusto come vedo anche sopra ottengo questo: (x+y-2)⊕z=(x+y-2)+z-2 ---> non mi è chiaro quest'ultimo -2 da dove esce

La tua operazione somma (con il $+$ canonico) il primo membro, il secondo membro e ci sottrae $2$.

Ora il tuo primo membro è esattamente $x+y-2$, mentre il secondo $z$ da cui quel risultato

a quanto ho capito io la tua è una difficoltà di passare dal concreto all'astratto, cioè tu pensi ancora alle operazioni come qualcosa di "divino" che è così perchè è dalle elementari che ti ripetono che deve essere così...
In realtà io posso prendere un insieme e definirci sopra un'operazione come voglio io.
Devi pensare alle operazioni come a funzioni, ad esempio l'addizione classica in $ZZ$ è in realtà una funzione
$f : ZZ x ZZ rarr ZZ $
così definita:
$f: (a,b) rarr a+b $
ma su $ZZ$ io potrei anche definire un'operazione che con notazione bizzarra chiamo $#$ e la definisco così:
$#: (a,b) rarr a#b=|a-b| $
L'operazione è ben definita, e a questo punto posso vedere se induce una struttura particolare o no sull'insieme, cioè se è un gruppo, un anello o altro...

Un esercizio di algebra astratta semplice è di questo tipo. Si prende un insieme di oggetti, vi si definisce un'operazione, e si chiede di provare se questo insieme con l'operazione definita è, ad esempio, un gruppo.
Intanto bisogna capire cos'è un gruppo (cioè capire gli assiomi)
una volta capito questo bisogna prendere l'operazione e vedere se verifica gli assiomi
Mi sembra di aver capito che nel tuo caso l’operazione è definita su $ZZ$ così
$a@b=a+b-2$
Vediamo quali assiomi valgono:
1)E’ ben definita (cioè $ZZ$ è chiuso rispetto a tale operazione)
2)Verifichiamo l’associatività, cioè che per ogni a,b,c vale
$a@(b@c)=(a@b)@c)$
membro sinistro
$a@(b@c)=a@(b+c-2)=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4$
membro destro
$(a@b)@c=(a+b-2)@c=a+b-2+c-2=a+b+c-4$
sono uguali pertanto l’vale l’associatività.

Per vedere se è un gruppo devi verificare se esiste l’elemento neutro, e se esistono gli inversi.

Secondo me è utile imparare a ragionare in termini astratti… a questo proposito consiglio vivamente un libro tipo l’Herstein che non si perde tanto in chiacchiere e riesce facilmente a far acquisire la prospettiva astratta

Ultima modifica di asdfghjkl2707 il 14/03/2011, 14:35, modificato 1 volta in totale.