Elementi simmetrizzabili in una struttura algebrica Z7xZ10

Salve a tutti... ho un problema con un esercizio su una struttura algebrica della quale devo studiare l'associatività dell'operazione, l'elemento neutro e gli elementi simmetrizzabili... per la proprietà associativa non ho problemi ma ho qualche problema quando poi devo trovare gli elementi simmetrizzabili e l'elemento neturo... vi illustro il procedimento che ho usato:
Nell'insieme $Z_7xxZ_10$ ho un operazione definita in questo modo: $(a,b) @ (c,d)=(2+a+b,3cd)$ con $a$ e $b in Z_7$ e $c$ e $d in Z_10$
Per l'elemento neutro ho fatto in questo modo:
$EE (u,v) in Z_7xxZ_10 | (a,b) @ (u,v)=(a,b)$
e ho svolto il sistema:
$( ( 2+a+u=a ),( 3bv=b ) )$ che come soluzione mi da (-2,-3). Il $-3$ l'ho ottenuto svolgendo l'equazione congruenziale $3v=1 (mod 10)$ cercando il MCD tra 3 e 10. Ora ho difficolta con gli elementi simmetrizzabili...
$( ( 2+a+a'=-2 ),( 3b b'=-3 ) )$ con $a' in Z_7$ e $b' in Z_10$. La prima equazione mi da come risultato $-4-a$ mentre la seconda dovrebbero essere tutti i coprimi di 10 e cioè $b'=1,3,7,9$... di conseguenza gli elementi simmetrizzabili saranno tutti quelli ${(-4-a,b) | a in Z_7, b=1,3,7,9 in Z10}$...
Ora non so se il procedimento è giusto tanto meno il risultato e il modo di scriverlo... quindi vorrei un'opinione da qualcuno più esperto...
Mi scuso per i sistemi ma non ricordo come si scrivono... grazie in anticipo per l'aiuto

up

Moderatore: gugo82

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