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Elementi Invertibili (Please!!!)

22/03/2006, 18:18

Ciao

Ho un "bisogno disperato" di capire come si trovano gli elementi invertibili in questi esercizi.

A) Quali sono gli elementi invertibili rispetto al prodotto in Q[x]?
B) Quali sono gli elementi invertibili rispetto al prodotto in Z7[x]?

Q[x] e Z7[x] sono gli anelli polinomi a coefficienti nei relativi campi.

Grazie

22/03/2006, 18:41

Invertibili o irriducibili?!?

22/03/2006, 18:46

Perchè per l'invertibilità la cosa è abbastanza ovvia:
dato un anello A, a$\in$A è invertibile se e solo se esiste b$\in$B tale che ab=1.

Quindi, prendendo A=K[x] (con K campo), p(x)q(x)=1 (unità di K=unità di K[x]) implica grado(p)=grado(q)=0 e p,q$\ne$0 (gli elementi invertibili sono tutti e soli i polinomi costanti diversi da 0)

22/03/2006, 19:45

irenze ha scritto:Invertibili o irriducibili?!?

Che razza di domanda l'è? Sapresti tu forse - ad esempio! - descrivere in modo non tautologico l'insieme dei polinomi irriducibili di $\mathbb{Q}[x]$? Ehmmm... :shock:

23/03/2006, 16:40

Correggetemi se sbaglio :

> in Q[x] gli elementi invertibili rispetto al prodotto sono tutti i polinomi di grado 0 con termine noto diverso da 0
> stesso discorso vale per Z[x].
> in Z7[x] esplicitamente {1,2,3,4,5,6}

due domande :

1) elementi invertibili rispetto al prodotto in C (complessi) ?

"in teoria dovrebbero essere tutti i numeri complessi z con z diverso da 0"

2) elementi invertibili in Z3[x] / f dove f = (x^2 + 1) € Z3[x] ?

23/03/2006, 17:49

Empty Head ha scritto:2) elementi invertibili in Z3[x] / f dove f = (x^2 + 1) € Z3[x] ?


Tutti i polinomi non nulli di $(ZZ_3[x]) / f$ dove $f = x^2 + 1 in ZZ_3[x]$ sono invertibili perchè $f$ è irriducibile in $ZZ_3[x]$

24/03/2006, 22:24

@DavidHilbert: Qual è il problema, scusa?
I polinomi irriducibili in Q[x] sono quelli di grado 1 e quelli di grado 2 con discriminante negativo.
A me questa descrizione non sembra tautologica (per me la definizione di irriducibile è in un anello qualsiasi), comunque non più di quella degli elementi invertibili.

25/03/2006, 00:37

Irenze, ti sbagli... la tua caratterizzazione va bene in R[x], ma non in Q[x]. Prendi ad esempio $x^4+2$ è irriducibile su Q, ma ha grado 4.. Non è nota una descrizione non tautologica degli irriducibili in Q[x]...

25/03/2006, 08:01

Hai ragione, ci avevo già pensato da sola... scusate tutti...
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