Per ora mi limito a fare una osservazione, vedila come "approfondimento", Tony
.
Elimino la condizione della distanza, questo forse renderà il problema banale, ma per ora...
Utilizzo questi:
Fatto1: la retta per i due punti $(x,y)$ e $(x',y')$ $in$ $ZxZ$ non contiene altri punti del reticolo $<=>$ $mcd(|x-x'|,|y-y'|)=1$.
Fatto2: supponiamo di avere a disposizione $n$ colori. Se troviamo $n+1$ punti t.c. a coppie verificano la condizione del fatto1, allora esistono 2 punti che verificano la condizione dell'esercizio "semplificato".
dim: infatti per il principio dei cassetti esistono 2 punti colorati uguali.
Vogliamo trovare un procedimento induttivo per fornire i punti necessari ad applicare il fatto2. I punti che si cercheranno saranno del tipo $(n,a_n)$, cioè l'ascissa è fissata e calcolo solo l'ordinata. Supponiamo di avere trovato i primi $k-1$ punti (li ordino secondo le ascisse). L'ordinata del $k_(esimo)$ sarà data dalla $Y$ che risolve il sistema:
$Y = 1 mod (k)$
$Y-a_1=1 mod (k-1)$
$Y-a_1-a2=1 mod (k-2)$
....
$Y-a_1-a_2-...-a_(k-1)=1 mod 1$
Questo sistema ha soluzioni (credo, è un pò di tempo che non lo vedo e non l'ho mai saputo bene a dire il vero
) per il teorema cinese del resto e rispetta le condizioni in quanto vale:
$a=1 mod b => mcd(a,b)=1$
Fine. In pratica avrei voluto dimostrare che quei 2 punti esistono sempre indipendentemente da ogni n, se eliminiamo la condizione sulla distanza. Cosa ne pensate? Secondo me ho fatto qualche errore, altrimenti c'è qualcosa che non mi torna
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Thomas il 10/04/2006, 14:48, modificato 2 volte in totale.