Tdn

Ciao, ho letto il libro di Du Sautoy sull’ipotesi di riemann, non ci ho capito gran che a conti fatti, ma mi ha gasato tantissimo. Ho cercato su internet argomenti di tdn e ho visto che la teoria dei numeri geometrica si chiama anche geometria aritmetica, ecco vorrei capire bene di cosa si occupa questo tipo di geometria e che legami ha con i numeri interi, magari anche qualche consiglio di un libro divulgativo in merito o un libro di testo che sia di primo approccio, grazie.

E' un bel libro divulgativo, quando lo lessi tanti anni fa al liceo mi ricordo che mi piacque più di molti altri.

La geometria aritmetica si occupa di molte questioni profonde, ma se si vuole semplificare all'osso la questione è la seguente: supponi di avere un polinomio \(f(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb Z[x_1,\ldots,x_n]\), ovvero un polinomio a coefficienti interi con $n$ variabili. Ora considera l'equazione $f(x_1,\ldots,x_n)=0$. Questa si può leggere, dal punto di vista geometrico, come la descrizione di un certo spazio (che tecnicamente si chiama varietà algebrica) la cui dimensione dipende da $f$. Per darti un'idea, l'equazione $x_1-x_2=0$ rappresenta una retta, l'equazione $x_1+x_2+x_3=0$ rappresenta un piano mentre l'equazione $x_1^2+x_2^2+x_3^2-1=0$ rappresenta una sfera bidimensionale, come la superficie terrestre. Gli spazi rappresentati da queste equazioni quindi hanno diverse proprietà geometriche. Per esempio, un piano contiene infinite rette mentre una sfera no. D'altra parte abbiamo un'equazione, e vorremmo risolverla. In teoria dei numeri ci si interessa alle soluzioni intere o razionali, ovvero quelle in cui tutte le $x_i$ sono numeri interi o razionali. Ecco, la geometria aritmetica studia le relazioni che sussistono tra la geometria dello spazio descritto dall'equazione e le sue soluzioni intere o razionali. Per esempio, l'equazione $x_1^2-x_2^3-1=0$ ha infinite soluzioni razionali, mentre $x_1^2-x_2^5-1=0$ ne ha solo un numero finito, e questo è profondamente legato alla geometria degli spazi corrispondenti: il primo è una ciambella, il secondo due ciambelle incollate tra di loro. L'intuizione che si insegue è che più lo spazio è "complicato" dal punto di vista geometrico, meno soluzioni razionali ci sono. Ma è difficilissimo dimostrare quest'intuizione, e ci sono pochi risultati sistematici.

Se vuoi avvicinarti seriamente all'argomento ovviamente devi conoscere un bel po' di matematica avanzata. Se vuoi leggere qualcosina di divulgativo ti consiglio "I problemi del millenio" di Keith Devlin, che contiene la descrizione dei 7 problemi (ora 6) per la cui risoluzione c'è in palio un milione di dollari. Uno di questi, la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer è uno dei problemi centrali della geometria aritmetica.

Grazie mille

E' un bel libro divulgativo, quando lo lessi tanti anni fa al liceo mi ricordo che mi piacque più di molti altri.

Quoto!
Aggiungo che è stata questa lettura (e un seminario tenuto al liceo dal mio futuro relatore della tesi della magistrale) a farmi decidere di studiare matematica e di fare una tesi descrittiva sull'ipotesi di Riemann per la magistrale.

Aggiungo, se mastichi un po' di inglese, "Prime Obsession: ..." di Derbyshire come lettura interessante e anche piuttosto comprensibile, rispetto ad altre, su questo tema.

A me ha colpito molto come da un teorema un matematico veda cose che gli altri non vedono, oppure che di una funzione ne visualizzi graficamente a mente il suo significato, però non saprei dire se quella è pura finzione da divulgazione o è frutto di anni di studio di una disciplina, comunque la matematica mi affascina molto. Però ad esempio io ho un pdf di algebra che ho provato a studiare e devo dire che mi ha annoiato subito, oggetti troppo astratti e concretamente non vedo nessuna applicazione utile, mi ha iniziato a prendere quando parlava di PID e UFD, ma poi vuoi una cosa e l’altra non ho continuato, però sarebbe bello arrivare al punto da riuscire ad utilizzare quelli strumenti astratti nel concreto (per modo di dire, nel senso usarli per risolvere problemi o comprendere meglio una teoria)

A me ha colpito molto come da un teorema un matematico veda cose che gli altri non vedono, oppure che di una funzione ne visualizzi graficamente a mente il suo significato, però non saprei dire se quella è pura finzione da divulgazione

This. La matematica vera non c'entra nulla con quello che viene dipinto in libri e film. E' tanto sudore della fronte e una miriade di risultati iper tecnici.

Però ad esempio io ho un pdf di algebra che ho provato a studiare e devo dire che mi ha annoiato subito, oggetti troppo astratti e concretamente non vedo nessuna applicazione utile, mi ha iniziato a prendere quando parlava di PID e UFD, ma poi vuoi una cosa e l’altra non ho continuato, però sarebbe bello arrivare al punto da riuscire ad utilizzare quelli strumenti astratti nel concreto (per modo di dire, nel senso usarli per risolvere problemi o comprendere meglio una teoria)

Senza studiare la teoria a fondo non sarai mai in grado di vedere delle applicazioni. I concetti di PID e UFD sono le basi dell'algebra astratta. Un po' come dire: se hai un vocabolario di 200 parole non potrai mai scrivere un romanzo decente.

Eh immaginavo fosse una fantasia da divulgazione.
Si so che poi gli argomenti ad un certo punto serviranno a qualcosa (altrimenti perché introdurli) però ho notato che per me è uno scoglio vederli subito, non perché non li capisco ma proprio per noia, ma va beh stiamo andando fuori tema.
Ho scaricato un po’ di libri divulgativi, devo leggermeli, però sulla teoria dei numeri geometrica non ho trovato un libro divulgativo specifico, ed è un peccato perché ad esempio per la fisica si può trovare qualunque cosa da video a libri su qualsiasi argomento, la matematica è non solo difficile da comprendere ma anche difficile da divulgare a quanto pare

Sì è una branca molto tecnica, difficile da divulgare. Però con qualche conoscenza di algebra e geometria del primo anno si può arrivare quantomeno a capire quali sono i problemi di maggior interesse. Comunque l'ipotesi di Riemann è un problema di analisi più che di geometria aritmetica. Una cosa invece che si studia sono le proprietà di alcune funzioni dette funzioni $L$ che sono simili alla zeta di Riemann ma legate ad oggetti più complicati dei numeri interi.

Bellissimo libro, mi fece avvicinare alla matematica.

Anche se, almeno nella versione che ho io, non menziona un approccio che ultimamente sta avendo dei sviluppi. Mi riferisco allo studio della funzione $\xi(s)$ di Riemann nella sua rappresentazione integrale

$\Xi(z)=\int_{0}^{+\infty} \Phi(u) \cos(zu)du$ (1)

dove $\Xi(z):=\xi(1/2+iz)$ e $\Phi(x)$ è una funzione che decresce super esponenzialmente. L'approccio introdotto da Newman e sviluppato successivamente da De Bruijin considera la (1) come condizione iniziale dell' equazione del calore

${(\partial_z^2 H_t(z)=\partial_t H_t(z)),(H_0(z)=\Xi(z)):}$

dove

$H_t(z)=\int_{0}^{+\infty} e^(tu^2)\Phi(u) \cos(zu)du$

Questo approccio consiste nel cercare i valori di $t$ tali che $H_t(z)$ ha solo zeri reali per $t \geq \Lambda$, dove $\Lambda$ è detta costante di De Bruijin-Newman. Siamo arrivati a dimostrare che $\Lambda \leq 0.22$ (POLYMATH) e $\Lambda \geq 0$ (Terence Tao e Rodgers). Chiaramente per dimostrare l'ipotesi di Riemann è sufficiente verificare che $H_0(z)$ non ha zeri reali ovvero che $\Lambda \leq 0$.

Comunque l'ipotesi di Riemann è un problema di analisi più che geometria aritmetica

Lo so, solo che per me viene naturale pensare che si studino i numeri interi con l’algebra, come pure con l’analisi anche se un po’ meno, il fatto che venga fatto con la geometria è bellissimo per me.

Bellissimo libro, mi fece avvicinare alla matematica.

Anche a me è piaciuto molto.

$ \Lambda \geq 0 $ (Terence Tao e Rodgers). Chiaramente per dimostrare l'ipotesi di Riemann è sufficiente verificare che $ H_0(z) $ non ha zeri reali ovvero che $ \Lambda \leq 0 $.

Non capisco, quindi si è vicini alla sua soluzione?