Variabile aleatoria discreta esercizio

Sia $(\Omega,\mathcal{F}, P)$ uno spazio di probabilità e $X : \Omega->RR$ una variabile aleatoria. È possibile scegliere $\Omega, \mathcal{F}, X$ in modo tale che $ImX = RR$, ma $X$ sia discreta. (Suggerimento: provare, ad esempio, con $\Omega = RR, \mathcal{F} = \mathcal{B}$ e la funzione identità $X(\omega) = \omega$, dove $\mathcal{B}$ è la sigma algebra dei Boreliani).
In teoria affinchè $X$ sia una variabile aleatoria discreta deve assumere solo valori finiti o numerabili ma la condizione $ImX = RR$ nega ciò... ma è anche vero che se la distribuzione associata alla variabile aleatoria è discreta allora la variabile aleatoria è discreta, in questo caso dato che $X$ è l'identità la distribuzione ad essa associata coincide con $P$, e se noi supponessimo che $P$ sia uguale ad esempio a una delta di Dirac (o comunque una loro somma) avrei la tesi... quindi non capisco quale dei due ragionamenti sia sbagliato etc. , se qualcuno mi sa dire, grazie

C'è un problema nella definizione di variabile aleatoria discreta, mi sembra anche ovvio, no? Vedi le risposte qui: https://math.stackexchange.com/q/4603190