Correlazione tra variabili aleatorie

Sia \( (Ω, \mathcal{F}, P) \) uno spazio di probabilità, $X, Y : Ω → RR$ due variabili aleatorie. Provare che $abs(\rho(X,Y))= 1$ implica che $\sigma(X) = \sigma(Y)$. Perché il viceversa è falso?

Partendo dal presupposto che $\rho$ è la correlazione fra $X$ e $Y$ e $\sigma$ è la deviazione standard, per la prima parte mi sa che c'è un errore dato che se prendo $Y=2X$ abbiamo che $|\rho|=1$ poichè c 'è una dipendenza lineare tra $X$ e $Y$ ma si ha che $\sigma(Y)=2*\sigma(X)$, quindi non capisco...
Per la seconda parte invece stavo pensando di trovare due variabili aleatorie che avessero la stessa deviazione standard ma che appunto non fossero fra loro in dipendenza lineare, ma non mi vengono in mente... qualche aiuto, grazie.

Per la seconda parte invece stavo pensando di trovare due variabili aleatorie che avessero la stessa deviazione standard ma che appunto non fossero fra loro in dipendenza lineare, ma non mi vengono in mente... qualche aiuto, grazie.

Qualcosa con una densità tipo $x^2$ e una con una densità costante?

Qualcosa con una densità tipo $x^2$ e una con una densità costante?

E come mai la deviazione standard sarebbe la stessa?

Qualcosa con una densità tipo $x^2$ e una con una densità costante?

E come mai la deviazione standard sarebbe la stessa?

Modifichi la larghezza della distribuzione uniforme in modo che lo sia.

Ma più semplicemente prendi due variabili indipendenti qualsiasi con la stessa distribuzione. Ovviamente hanno la stessa deviazione standard. Ovviamente la correlazione è 0. Diciamo che sono entrambe $U(0,1)$.

Ma più semplicemente prendi due variabili indipendenti qualsiasi con la stessa distribuzione. Ovviamente hanno la stessa deviazione standard. Ovviamente la correlazione è 0. Diciamo che sono entrambe $U(0,1)$.

Tipo due variabili aleatorie con distribuzione normale standard, ma indipendenti, ora ci devo pensare a un esempio esplicito, ma ho capito, grazie.

Tipo due variabili aleatorie con distribuzione normale standard, ma indipendenti, ora ci devo pensare a un esempio esplicito, ma ho capito, grazie.

Questo non è già un esempio esplicito?

O due monete indipendenti, entrambe con $P(T)=0,5$. Fatto. (La variabile per ciascuna moneta è "il numero di teste")

Ok, grazie mille
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