[probabilità]convergenza in legge di variabili aleatorie

ancora una volta con i miei dubbi banali spero di non assillare ghg!

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Studiare la convergenza in legge di $Y_n=(1+sqrt(X_1^2+...+X_n^2))/(1+(X_1+...+X_n))$ dove $X_i$ hanno legge $B(1/2)$ e sono tutte indipendenti tra loro.
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iniziamo con l'osservare che $EX_i=1/2=EX_i^2$ e $VarX_i=1/4$. Inoltre $X_i^2$ rimangono indipendenti tra loro essendo che sono composizione di v.a. indipendenti con funzioni continue.

Scriviamo $Y_n=(N_n)/(D_n)=(1/sqrt(n)N_n)/(1/sqrt(n)D_n)

quindi
$1/sqrt(n)N_n=1/sqrt(n)+sqrt{(X_1^2+...+X_n^2)}/sqrt(n)->sqrt(EX_1^2)=sqrt(1/2) $ per la legge dei grandi numeri (ci converge in probabilità e quindi anche in legge).

$1/sqrt(n)D_n=1/sqrt(n)+(X_1+...+X_n)/sqrt(n)->X$ con $X$ di legge $N(1/2,1/4)$ per il teorema del limite centrale (la convergenza è in legge).

quindi concludiamo che $Y_n->1/(sqrt(2)X)=1/Y$ con $Y$ di legge $N(1/(2sqrt(2)),1/8)$.

Volevo un parere se vi convince questo risultato giusto per sicurezza, che mi lascia un sapore di perplessità...

Sì, mi sembra tutto corretto. Solo una piccola constatazione. Visto che le $X_i^2$ sono i.i.d. e aventi media finita, vale la legge forte dei grandi numeri, e quindi la convergenza non è solo in probabilità, ma è una convergeza quasi-certa, o $P$-q.s. Ma dato che entrambe implicano la convergenza in distribuzione, quello che ho detto è solo superluo