Calcolo varianza

Trovo difficile calcolare la varianza in una situazione del genere.... l'esercizio chiede:

Due variabili aleatorie X e Y, indipendenti hanno varianza $sigma_x^2=4$ e $sigma_y^2=6$. Calcolare la varianza della variabile $Z= 2X+4Y-5$

Non ho ne media ne ne il dominio della funzione... come la calcolo sta varianza?

Trovo difficile calcolare la varianza in una situazione del genere.... l'esercizio chiede:

Due variabili aleatorie X e Y, indipendenti hanno varianza $sigma_x^2=4$ e $sigma_y^2=6$. Calcolare la varianza della variabile $Z= 2X+4Y-5$

Non ho ne media ne ne il dominio della funzione... come la calcolo sta varianza?

Devi ricordare:
1)$Y=a*X+b,a,b in RR$ allora $Var[Y]=a^2*Var[X]$ cioè $b$ (-5 nel tuo caso) non influisce;
2)quando hai la somma di variabili aleatorie indipendenti la varianza è la somma delle varianze.
Per cui
$Var[Z]=2^2*Var[X]+4^2*Var[Y]=4*4+16*6=16+96=112$

La varianza di una variabile aleatoria $T$ è $"Var"(T)=E[(T-E[T])^{2}]=E[T^{2}]-E[T]^{2}$

Quindi la varianza di $Z$ vale:$E[(2X+4Y-5)^{2}]-(E[2X+4Y-5])^{2}=4E[X^2]+16E[Y^2]+25+16E[XY]-20E[X]-40E[Y]-(2E[X]+4E[Y]-5)^{2}=$
$=4E[X^2]+16E[Y^2]+25+16E[XY]-20E[X]-40E[Y]-(4E[X]^2 + 16E[Y]^{2}+25+16E[X]E[Y]-20E[X]-40E[Y])=$
$=4E[X^2]+16E[Y^2]+25+16E[XY]-20E[X]-40E[Y]-4E[X]^2 - 16E[Y]^{2}-25-16E[X]E[Y]+20E[X]+40E[Y]=

Tenendo conto che $E[T^2]-E[T]^2$ è la varianza di $T$ e che $E[X]E[Y]-E[XY]=0$ perché sono indipendenti, e quindi scorrelate, si ottiene:

$4 \sigma_X^{2} +16 \sigma_Y^{2}$

Questa è la varianza di zeta

Ultima modifica di Tipper il 02/12/2006, 20:51, modificato 2 volte in totale.

sbaglio o le 2 varianze sono diverse?

Se ti riferisci a quelle calcolate da me e da nicasamarciano no, sono uguali.

sembrano diverse perchè tu l'hai calcolata in X e in Y e lui invece.. diciamo che le ha calcolate in Z???

E se le variabili fossero stati dipendenti anzicchè sommare dovevo moltiplicare?

Ultima modifica di Bartolomeo il 02/12/2006, 18:27, modificato 1 volta in totale.

Trovo difficile calcolare la varianza in una situazione del genere.... l'esercizio chiede:

Due variabili aleatorie X e Y, indipendenti hanno varianza $sigma_x^2=4$ e $sigma_y^2=6$. Calcolare la varianza della variabile $Z= 2X+4Y-5$

Non ho ne media ne ne il dominio della funzione... come la calcolo sta varianza?

Devi ricordare:
1)$Y=a*X+b,a,b in RR$ allora $Var[Y]=a^2*Var[X]$ cioè $b$ (-5 nel tuo caso) non influisce;

Come faccio a capire se b influisce o meno?

sembrano diverse perchè tu l'hai calcolata in X e in Y e lui invece.. diciamo che le ha calcolate in Z???

E se le variabili fossero stati dipendenti anzicchè sommare dovevo moltiplicare?

Se erano dipendenti, ma scorrelate, non sarebbe cambiato nulla.

Se invece erano anche correlate non era vero che $E[XY]-E[X]E[Y]=0$, ovvero per calcolare la varianza avevi bisogno anche della covarianza.

Dal momento che sono correlate, per calcolare la varianza, devi avere, in un certo senso, un indice della loro correlazione.

@ Nicasamarciano:

2)quando hai la somma di variabili aleatorie indipendenti la varianza è la somma delle varianze.

Se ho un prodotto di variabili aleatorie allora la varianza è il prodotto delle varianze???



@ Tipper: Il metodo che hai scritto tu vale anche nel caso di prodotto di variabili aleatorie indipindenti?

Il metodo che ho scritto io fa uso della definizione di varianza, quindi direi che va sempre bene...

Ovviamente, nel caso del prodotto di variabili aleatorie, i conti verranno diversi.