Lancio di un dado.

Ciao a tutti e Buona Befana.
Sono alle orese con questo esercizio.

Traccia.
Supponiamo che un dado venga tarato in modo tale che quando esso viene lanciato in aria la probabilità che si presenti un numero sia proporzionale a quel numero. Sia A={numero pari}, B={numero primo} e C={numero dispari}.

(i) Descrivere lo spazio di probabilità, e cioè trovare l probabilità di ciascun punto campionario.
(ii) Determinare P(A), P(B) e P(C)
(iii) Determinare la probabilità che: (a) si presenti un numero pari o un numero primo (b) si presenti un numero primo dispari; (c) si verifichi A ma non B.

Allora i primi due punti sono semplici.
Mio svolgimento.
Lo spazio dei campioni è finito numerabile quindi discreto $Omega={1,2,3,4,5,6}$

(i) Prendo in considerazione i seguenti eventi:

$f_1$={esce la faccia 1}
$f_2$={esce la faccia 2}
$f_3$={esce la faccia 3}
$f_4$={esce la faccia 4}
$f_5$={esce la faccia 5}
$f_6$={esce la faccia 6}

e considero la $P(f_1)=p$ per cui sarà
$P(f_2)=2p$
$P(f_3)=3p$
$P(f_4)=4p$
$P(f_5)=5p$
$P(f_6)=6p$

applicando il secondo assioma di Kolmogorov si ha
$p+2p+3p+4p+5p+6p=1$$=>$$p=1/21$
dunque

$P(f_1)=1/21$
$P(f_2)=2/21$
$P(f_3)=1/7$
$P(f_4)=4/21$
$P(f_5)=5/21$
$P(f_6)=2/21$

(ii) Per determinare le probabilità di A, B e C ragiono in questo modo:

A={numero pari}
B={numero primo}
C={numero dispari}.

Tutti questi eventi sono mutuamente esclusivi tra di loro per cui è lecito scrivere usando l'assioma di Kolmogorov della finita additività:

P(A)=$P(f_2)+P(f_4)+P(f_6)=4/7$
P(B)=$P(f_2)+P(f_3)+P(f_5)=10/21$
P(C)=$P(f_1)+P(f_3)+P(f_5)=3/7$

(iii) i problemi cominciano al terzo punto.

(a) $AuuB$={"si presenta un numero pari o primo"}={2,4,6,3,5} ovvero l'evento che non si presenti 1 quindi $P(AuuB)=1-P(1)=20/21$

(b) $BnnC$={"si presenta un numero primo dispari"}={3,5}
(c) $Annnot(B)$={"Si presenta un numero pari ma non primo"}={4,6}

Questi eventi non sono mutuamente esclusivi perché la loro intersezione non è nulla...giusto?
Per cui dovrei applicare la seguente relazione?

$P(BuuC)=P(B)+P(C)-P(BnnC)$
oppure $P(Annnot(B))=P(A)-P(AnnB)$

come devo procedere, dove sbaglio?

GRAZIE.

La probabilità $P(f_6)$ vale $\frac{2}{7}$, ma penso che questo sia un errore di battitura. Gli eventi A numero pari, B numero primo e C numero dispari, non sono mutuamente esclusivo, ad esempio se esce tre è verificato B e C, se esce 2 è verificato A e B.

Invece il presentarsi del 4 o del 6 sono due eventi mutuamente esclusivi, se si presenta uno non può presentarsi l'altro, e viceversa, quindi la probabilità dell'unione è la somma delle probabilità.

Come dice Tipper.
In generale, se hai due eventi non mutuamente incompatibili, ad esempio numero pari e non primo, l'insieme somma si ottiene facendo la somma degli elementi dei due insiemi ed eliminando l'intersezione.
Nel nostro caso, ci interessa l'insieme intersezione.
Se
$A={2,4,6}$
$B={1,4,6}$
$AnnB={4,6}$
Poichè gli eventi $x=4$ e $x=6$ sono tra loro mutuamente incompatibili,
$P(AnnB)=P(x=4)+P(x=6)$

GRAZIE MILLE.

Per quanto riguarda il secondo punto sì avevo capito solo che ho sbagliato a scrivere...volevo far intendere con la frase "Tutti questi eventi sono mutuamente esclusivi tra di loro per cui è lecito scrivere usando l'assioma di Kolmogorov della finita additività" che

$f_1$={esce la faccia 1}
$f_2$={esce la faccia 2}
$f_3$={esce la faccia 3}
$f_4$={esce la faccia 4}
$f_5$={esce la faccia 5}
$f_6$={esce la faccia 6}

questi eventi sono mutuamente esclusivi, se esce uno non può uscire quattro ecc...e quindi gli eventi A,B e C li ho considerati come l'unione di eventi elementari...


Per quanto riguarda il secondo punto sbagliavo perché guardavo gli insiemi separatamente, mentre quindi devo guardare e analizzare $BnnC$ e lo devo vedere come un unico evento giusto?
Però non capisco una cosa perché $P(BnnC)=P(B)+P(C)$? Non è un unione, non posso applicare il terzo assioma di Kolmogorov...
...cioè se fosse $P(BuuC)=P(B)+P(C)$

Però non capisco una cosa perché $P(BnnC)=P(B)+P(C)$?

Io non l'ho mai scritto.
La scrittura $P(AnnB)=P(x=4)+P(x=6)$ è una cosa diversa.

Non vorrei che Ahi avesse inteso quella scrittura come $P(A\ cap B)=P(A)+P(B)$. Quella scrittura stava solo a significare che $(A \cap B)={x=4}\cup{x=6}$ (formalmente quello che ho scritto fa schifo, serve a rendere l'idea...).

Sì, effettivamente un pensierino all'inizio ce lo avevo fatto, però avevo capito che non poteva essere...esistono delle regole teoriche da rispettare...che ogni tanto mi fanno impazzire
...solo che comunque mi fa un effetto un po' strano , ma credo sia solo una questione di abitudine e di pratica, ragionando e facendo molta attenzione questo tipo di esercizi alla lunga non sono così difficili...
Thank you.