Esercizio su legge dei grandi numeri (estesa)

Salve a tutti vorrei avere qualche suggerimento sulla risoluzione di questo esercizio.

Siano $X_n$ variabili aleatorie indipendenti, identicamente distribuite, tutte con distribuzione di Cauchy.

Quindi $f(x)=\frac{1}{\pi} \frac{1}{1+x^2}$

Dimostrare che $$P(\lim_{n \to \infty} {\frac{|X_1|+|X_2|+...+|X_n|}{n}} = \infty) = 1$$

In pratica bisogna dimostrare la convergenza di $ {\frac{|X_1|+|X_2|+...+|X_n|}{n}}$ a infinito P-quasi certa.
Come posso procedere?
Con le funzioni caratteristiche riesco ad avere informazioni soltanto riguardo la convergenza in distribuzione, che è molto più debole rispetto a quella P-quasi certa