Un aiuto sulle VARIABILI ALEATORIE

Ciao ragazzi,
sono alle prese con degli esercizi teorici su variabili aleatorie et similia e non riesco a venirne fuori. Spero possiate darmi una mano. I testi sono i seguenti:
1) Sia X una variabile aleatoria di valore atteso pari a B e varianza pari a C. Si determini il valore atteso e la varianza della variabile aleatoria Y = (X – B)/ C
2) Sia X una variabile aleatoria di Poisson di parametro Lambda. Si provi che P( X= i) prima cresce e poi decresce al crescere di i,raggiungendo il suo massimo in corrispondenza del più grande intero minore o uguale a Lambda.
3) Mostrare che E[ (X-a)^2] è minimizzato in a = E[X]
4) Siano X1,X2...., X20 variabili aleatorie di Poisson indipendenti di media 1.

a) Si usi la disuguaglianza di Markov per ottenere un limite alla probabilità
P( ∑ Xi > 15) e
b) Si usi il teorema del limite centrale per approssimare P( ∑ Xi > 15)

1) Sia X una variabile aleatoria di valore atteso pari a B e varianza pari a C. Si determini il valore atteso e la varianza della variabile aleatoria Y = (X – B)/ C

Il valore atteso è un operatore lineare, pertanto

$E[Y] = E[\frac{X-B}{C}] = \frac{1}{C} E[X-B] = \frac{1}{C} (E[X] - B) = 0$

Dunque $Y$ è una variabile aleatoria a media nulla.

La varianza di $Y$ vale $E[Y^2] - E[Y]^2 = E[Y^2]$, dato che è a media nulla.

$E[Y^2] = \frac{1}{C} E[X^2 - 2XB + B^2]$

Anche qui puoi sfruttare la linearità del valore atteso; l'unica cosa che non conosci (direttamente) è $E[X^2]$, ma

$C = E[X^2] - E[X]^2 = E[X^2] - B^2$, dunque $E[X^2] = B^2 + C$.

Grazie mille per la spiegazione.
Sugli altri potresti darmi qualche dritta?