Dunque Harris!
La soluzione che hai postato è lo stimatore MV di una bernulli e non ho capito a cosa si riferisca.
Veniamo ai due esercizi:
1) quello della uniforme in $[theta;theta+4]$ hai la densità che è $f(x)=1/(b-a)=1/4$ su tutto il dominio e quindi la verosimiglianza è costante
$L(theta)=1/4^8$ dato che il campione è di ampiezza 8
Ciò significa che
$theta<=X_1<=theta+4$
$theta<=X_2<=theta+4$
....
$theta<=X_8<=theta+4$
Quindi possiamo scrivere che
$Max(X)-4<=theta<=min(X)$
in conclusione qualunque punto compreso fra il massimo valore meno 4 e il minimo valore delle osservazioni è uno stimatore di massima verosimiglianza di $theta$. In questo esempio il modello non è regolare, dato che il dominio dipende dal parametro, e quindi non si può applicare la solita regola di derivare la log-verosimiglianza e porla =0.
2) Invece per l'esercizio che ha postato @Walter97lor, ovvero questo
$f(y)=theta(1-y)^(theta-1)$
si fa così:
$L(theta)=theta^nPi_i(1-y_i)^(theta-1)$
$logL=nlogtheta+(theta-1)sum_i log(1-y_i)$
$partial/(partialtheta)logL=n/theta+sum_i log(1-y_i)=0 rarr hat(theta)=-n/(sum_i log(1-y_i))$
per il resto dell'esercizio forse è un po' troppo avanzato per il tuo livello attuale. No problem
un passo alla volta: è solo questione di prenderci un po' la mano .....se non è chiaro fammi sapere.