Minimo in una distribuzione uniforme; Varianza

Salve, due settimane fa ho fatto l'esame scritto di calcolo (ricevuto ora l'esito, 24), domani avrò l'orale e vorrei prepararmi al meglio.
La correzione comincia sempre con l'analisi degli errori nel compito, proprio per questo vorrei che mi aiutaste con questi due esercizi su cui non sono molto sicuro:

1)Siano $ X,Y,Z $ tre numeri aleatori indipendenti e con distribuzione uniforme in $ [0,1] $ . Indicando con $ W $ la prima statistica d’ordine, cioe $ W= min{X,Y,Z} $ ,calcolare la densita $`fW(w) $

2)Dati 3 eventi E1,E2 e E3, verificare che l’assegnazione di probabilita $`P(Ei) =7/16 $ per $ i= 1,2,3 $ , $ P(EiEj) =3/16 $ per i < j, $ P(E1E2E3) =1/8 $ è coerente. Calcolare $ var(|E1|+|E2|+|E3|) $

La mia soluzione:

1) Dato che tutte e 3 hanno distribuzione uniforme in $ [0,1] $ , $ g(x)={ ( 1 if xepsilon[0,1] ),( 0 if al trove):} $ $ g(y)={ ( 1 if yepsilon[0,1] ),( 0 if al trove):} $ e $ g(z)={ ( 1 if zepsilon[0,1] ),( 0 if al trove):} $.
Nel momento dell'esame, ho calcolato il massimo quindi ho semplicemente moltiplicato le densità dei x,y e z, quindi la densità di w era 1 ; ma il minimo dovrebbe essere così: $ Fw(W)= P(min(x,y,z)<=w)=P(X<=w)+P(Y<=w)+P(Z<=w)-P(X<=w,Y<=w,Z<=w)=Fx(w)+Fy(w)+Fz(W)-Fx(w)*Fy(w)*Fz(w) $ e qui mi sorge un dubbio enorme, perché così mi dovrebbe venire una funzione di ripartizione $ Fw(W)= { ( 0 if w<=0 ),( 2w if 0<w<1 ),( 1 if w>=1 ):} $ e francamente il tutto non mi sembra minimamente possibile dato che per $0.5<w<1$ ottengo un risultato superiore ad 1

2)Calcolando i costituenti ho visto che il sistema è coerente e ho provato a calcola la varianza col prodotto npq, che sostituendo con $ n=3 $ , $ p=7/16 $ e $ q=9/16 $ , ma credo che sia completamente sbagliato..

Vi prego di aiutarmi

1) la densità del minimo si determina anche senza fare alcun conto e viene una $"Beta"(1;3)$

$f_W(w)=3(1-w)^2I_([0;1])(w)$

Per tua informazione, hai sbagliato anche la densità del massimo: viene una $"Beta"(3;1)$

$f_Z(z)=3z^2I_([0;1])(z)$

...e non certo 1 come hai scritto (moltiplicare le densità???' e dove l'hai letto???? vanno moltiplicate le CDF)

2) per calcolare la varianza partirei dal calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno dei tre eventi....

Vi prego di aiutarmi

ti prego di leggere bene i primi articoli del regolamento per capire quale sia lo spirito di questa Community

Allora, ho trovato $ Gw(w)= { ( 0if w<=0 ),( 3w-3w^2+w^3 if 0<w<1 ),( 1 if w>=1):} $ , l'esercizio prevedeva anche altri due punti(come tutti gli altri) ma vorrei chiederti consiglio per il secondo punto di questo esercizio: in poche parole dovevo trovare $ P(X<=1/2| X>1/4) $ , il risultato giusto è $ 19/48 $ ?

Per il secondo esercizio, mi sto mettendo già al lavoro, stavo ripassando un po' la teoria dietro il primo esercizio

Già che ci sono, il valore atteso di una distribuzione beta è $ E(W)=r/(r+s)=1/4 $ , giusto?