Probabilità Variabile Normale

Ciao a tutti,

Ho una variabile $X$ che è una Normale di parametri $mu$ e $sigma^2$.
Viene chiesto di determinare un valore reale positivo $alpha$ tale che questa probabilità valga $0.5$:

$P(mu-alphasigma <= X <= mu + alphasigma)$

Ho provato a standardizzare arrivando a $P(-alpha <= Z <= alpha) $ con $Z = (X-mu)/(sigma)$, qualcuno sa come procedere per arrivare al valore di $alpha$? Grazie

Messa così onestamente non riesco a vederla, riguardando gli appunti quello che ho forse capito è che potrei fare

$Phi(alpha) - Phi(-alpha) =$

quindi scrivendo meglio $Phi(-alpha)$ posso dire:

$Phi(alpha) -1 + Phi(alpha) = 2Phi(alpha) -1$

Ma poi mi blocco ancora...

@arnett, nella fretta hai sbagliato un segno

@tatoalo: corretto, ti mancava solo un ultimo gradino....porre il tutto pari a $1/2$ e risolvere in $Phi$

Infatti:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$mathbb{P}[-alpha<=Z<=alpha]=Phi(alpha)-Phi(-alpha)=1/2$

$Phi(alpha)-[1-Phi(alpha)]=1/2$

$Phi(alpha)-1+Phi(alpha)=1/2$

$2Phi(alpha)=3/2$

$Phi(alpha)=3/4$

Quindi il risultato si trova risolvendo

$Phi(alpha)=3/4$

oppure

$Phi(-alpha)=1/4$

Per risolvere in $alpha$ occorre invertire la funzione $Phi$....il che significa "leggere il valore tabulato sulle tavole della Gaussiana"

Oppure usare un qualunque calcolatore, io uso semplicemente Excel:

$"INV.NORM.ST(0.75)"=0.6745$

$"INV.NORM.ST(0.25)"=-0.6745$

Grazie ad entrambi, ora è tutto più chiaro!