Esercizio su variabili aleatorie continue

Buongiorno.
Avrei bisogno di aiuto con un esercizio di statistica che non riesco a impostare. Riporto il testo e ringrazio per eventuali soluzioni o suggerimenti.

Si ha una variabile aleatoria X uniforme su [0,1] e una Y esponenziale con parametro $\lambda=1$ . Le variabili X e Y sono indipendenti.
Calcolare le funzioni di ripartizione e di densità di probabilità della variabile W così definita:

$W=\{(X, if Y<1),(-X, if Y>=1):}$

Ho provato a partire considerando:

$P(Y<1)=F_y(1)=1-e^-1$
$P(Y>=1)=1-F_y(1)=e^-1$

$F_w = P(W<=w) = P(X<=w nn Y<1) uu P(-X<=w nn Y>=1)$

ma non so se il ragionamento è giusto e come andare avanti. Se ho sbagliato qualcosa chiedo scusa è la prima volta che utilizzo il forum. Grazie in anticipo.

Grazie mille per la risposta super rapida. Era molto più semplice di quanto pensassi. Mi ha mandato in crisi il dominio messo come variabile aleatoria che non capivo bene come affrontare. Ma quindi la densità di probabilità è definita su punti e non intervalli?

EDIT: mi sono risposto da solo visto che Bernoulli è una variabile discreta. Grazie mille!

sì superrapida ma troppo frettolosa...
Ho scritto una caXXata immane! (e quindi ho eliminato la risposta)

La variabile $W$ è una mistura di due distribuzioni uniformi. Quindi il suo supporto è $w in [-1;1]$ ovviamente.

e la sua densità è la seguente

$f_W(w)={{: ( e^(-1) ,;-1<w<0 ),( 1-e^(-1) , ;0<=w<1 ),( 0 , ;" altrove" ) :}$

La funzione di ripartizione segue senza problemi

[tommik]

Perfetto grazie mille per il tempo dedicato, ora mi è tutto chiaro! Non avevo mai incontrato un esercizio di questo tipo e non sapevo da che parte girarmi. Grazie mille ancora! Buona giornata!

Ultima modifica di tommik il 08/06/2019, 12:30, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: eliminata citazione