Hai scritto le formule un po' "da cane" comunque penso di aver capito cosa non ti è chiaro.
La densità della popolazione è questa
$f_X(x|theta)=e^(theta-x)*mathbb{1}_((theta;+oo))(x)$
$theta in RR$
Come vedi dal grafico, si tratta di un'esponenziale negativa $Exp(1)$ traslata...quindi di media $mathbb{E}[X]=e^theta$
(cliccami per ingrandirmi)
Tu invece hai scritto come dominio $(0;+oo)$ ed è sbagliato (integra la densità e te ne rendi conto)
Primo punto...calcoli la verosimiglianza moltiplicando le densità (osserva che la funzione risultante è strettamente crescente rispetto a $theta$)
$L(theta)=e^(n theta-Sigma_i x_i)$
Ora ne devi calcolare il dominio....dato che tutte le variabili hanno la stessa distribuzione, considerando dove è definità $f_X(x)$ e dove è definito il parametro $theta$, avrai
$-oo<theta<x_1<+oo$
$-oo<theta<x_2<+oo$
...
$-oo<theta<x_n<+oo$
e quindi vedi che se ne può dedurre che $theta$ è più piccolo di tutte le $X_i$,
ovvero è più piccolo del minimo...
Quindi in definitiva la verosimiglianza verrà
$L(theta)=e^(n theta-Sigma_i x_i)*mathbb{1}_((-oo;x_((1))))(theta)$
Dato che la L è strettamente crescente rispetto a $theta$ avrà il suo $"ArgSup"$ proprio in corrispondenza di $x_((1))$ che è quindi lo stimatore di massima verosimiglianza .... ed anche lo stimatore sufficiente per il seguente teorema:
Se esiste uno stimatore sufficiente $S$ allora lo stimatore di massima verosimiglianza è funzione di $S$
(la dimostrazione te la lascio per esercizio)
La funzione indicatrice la puoi esprimere come ti pare, rispetto a $theta$ o rispetto a ciò che vuoi...non è obbligatorio esprimerla rispetto a $theta$
ma torna molto comodo perché devi massimizzare la verosimiglianza proprio rispetto al parametro....
la prossima volta, se hai un altro esercizio, apri un nuovo topic