Ti faccio solo notare che negli esercizi che hai postato finora al massimo sei arrivato ad applicare Karlin Rubin....ma per ipotesi composte unilaterali un test UMP esiste solo se la densità da cui si campiona ha un rapporto di verosimiglianza monotono rispetto a qualche statistica.
Purtoppo per la densità $g$ ciò non accade, infatti posto $theta_0<theta_1$
$LR=sqrt(theta_1/theta_0(theta_1-x)/(theta_0-x))(mathbb{1}_((0;theta_0))(x))/(mathbb{1}_((0;theta_1))(x))$
$LR={{: ( sqrt(theta_1/theta_0(theta_1-x)/(theta_0-x)) , ;0<x<theta_0 ),(0, ;theta_0 <=x<=theta_1 ) :}$
Che è crescente per $0<x<theta_0 $ mentre poi è zero.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
che il rapporto di verosimiglianza sia crescente (tendendo ad $+oo$ nel primo intervallo si vede immediatamente derivando
$d/(dx)(theta_1-x)/(theta_0-x)=(theta_1-theta_0)/(theta_0-x)^2>0$; $AAx$
Diverso è per la densità f. Essa ha un LR monotono...