Problema con esercizio sulla trasformata di una variabile aleatoria

Testo: sia $X$ una variabile aleatoria con densità continua $f_X(x)=|x|$ per $x$ in $[-1,1]$ e $0$ altrimenti.
Determina la legge di $X^2$ e riconoscila.

Allora, la soluzione ufficiale dell'esercizio sfrutta la formula $F_Y(y)=int_(-infty)^(g^-1(y)) f_X(s) ds $ e risulta che $Y=X^2$ è uniforme continua su $[0,1]$.


Ma io mi chiedo come possa essere utilizzata quella formula se per usarla è necessario che la funzione $g(X)$ sia invertibile e crescente sul dominio di $X$ e $g(X)$ in $[-1,1]$ non è né invertibile né crescente....

Ma io mi chiedo come possa essere utilizzata quella formula se per usarla è necessario che la funzione $g(X)$ sia invertibile e crescente sul dominio di $X$ e $g(X)$ in $[-1,1]$ non è né invertibile né crescente....

No, non è necessario che sia invertibile (basta che sia invertibile a tratti)

Utilizzando la formula che hai postato tu (ovviamente devi stare attento a mettere i giusti estremi di integrazione) ottieni:

$F_(Y)(y)=mathbb(P){X^2<=y}=mathbb(P){-sqrt(y)<=X<=sqrt(y)}=F_X(sqrt(y))-F_X(-sqrt(y))=1/2+y/2-[1/2-y/2]=y$

Derivi ed ottieni la densità cercata

$f_Y(y)=mathbb(1)_([0;1])(y)$

Ovvero una uniforme continua su $[0;1]$