Media Campionaria

Salve, mi sto avvicinando con l'inferenza statistica, sto consultando molti libri, ma a mio avviso non sono molto chiari.
In particolare non riesco a sciogliere il nesso che c'è tra i vari concetti relativi alla media campionaria.
Fino ad ora ho capito quanto segue, vi pergo correggetemi e integrate quello che manca.
Allora la media campionaria si distribuisce come una normale con media la media della pololazione e varianza $\frac{\sigma^2}{n}$, QUESTO SEMBRA in generale quindi non metto ipotesi sul campione, campione casuale.
Mentre la varianza della media campionaria se il campione proviene da una normale standard allora si distribuisce come una distribuzione $\chi_{n-1}^2$.
Io mi ricordo anche qualcosa che faceva riferimento alla t di student.
Potete aiutarmi a dare una chiarezza sento di avere le idee confuse su questo tema.
Grazie

Allora la media campionaria si distribuisce come una normale con media la media della pololazione e varianza $\frac{\sigma^2}{n}$

FALSO. La media campionaria ha la sua distribuzione che va calcolata. Es: se prendiamo n poisson iid la media campionaria è ancora una poisson, con un diverso parametro ed un diverso supporto (dimostrare con la fgm)

Diverso discorso è per la DISTRIBUZIONE ASINTOTICA della media campionaria, che effettivamente è come dici....ma il discorso va ampliato perché è la distribuzione asintotica di qualunque stimatore di massima verosimiglianza¹:

$hat(theta)_(ML)~N[theta;k(theta)]$

dove $k(theta)$ è il membro di destra della disuguaglianza di Cramér Rao. Dato che la media campionaria è lo stimatore di massima verosimiglianza della media della popolazione....asintoticamente la sua distribuzione è come hai detto tu...attenzione, asintoticamente e non esattamente quella.

Mentre la varianza della media campionaria se il campione proviene da una normale standard allora si distribuisce come una distribuzione $\chi_{n-1}^2$.

FALSO. La varianza della media campionaria $V(bar(X))$ indipendentemente dalla distribuzione sorgente è un numero: $sigma^2/n$ e lo hai anche detto prima

Ciò che invece (in un modello gaussiano) si distribuisce come una chi-quadro è la seguente variabile

$(n-1)S^2/sigma^2~chi_((n-1))^2$


ed è anche facile da dimostrare (nelle dispense che ti ho inviato c'è un accenno alla dimostrazione)

La relazione che lega la t di Student alla media campionaria (in un modello gaussiano) è la seguente

$(bar(X)-mu)/S sqrt(n)~mathcal(T)_((n-1))$

Visto che stai facendo le convergenze ci sarebbe un interessante risultato....ma ne parliamo semmai più avanti

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Note

1. lo trovi a pag 17 delle dispense che ti ho inviato; 2.1.3: Proprietà degli Stimatori di MV ↑

Vediamolo subito, tanto può essere utile anche ad altri (è una mia considerazione, non è che si trovi su tutti i testi)

Supponiamo che valga il TLC (quindi non necessariamente modello gaussiano ma che siano soddisfatte le condizioni per applicare il Teorema del Limite Centrale), ovvero supponiamo che

$(bar(X)-mu)/sigma sqrt(n) \stackrel(" "mathcal(L) " ")rarr Phi$

1) E' un fatto che $S^2\stackrel(" q.c. ")rarr sigma^2$

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$S^2=1/(n-1)[Sigma_i(X_i-bar(X))^2]=n/(n-1)[(Sigma_i X_i^2)/n-(1/n Sigma_iX_i)^2]$

Ora, dato che

$1/n Sigma_i X_i^2 \stackrel(" q.c. ")rarr sigma^2+mu^2$

$1/n Sigma_iX_i \stackrel(" q.c. ")rarr mu$


per la conservazione della continuità si dimostra l'asserto.

2) Sempre per la conservazione della continuità (Continuous Mapping Theorem) abbiamo anche che

$sigma/S \stackrel(" q.c. ")rarr 1$ (e quindi anche in probabilità)

3) Applicando il Teorema di Slutsky abbiamo che $(bar(X)-mu)/S sqrt(n)=sigma/S (bar(X)-mu)/sigma sqrt(n) \stackrel(" "mathcal(L) " ")rarr Phi$


In definitiva, in un modello gaussiano sappiamo che

$(bar(X)-mu)/S sqrt(n)~mathcal(T)_((n-1))$

ma, anche se il modello non è gaussiano, purché siano soddisfatte le ipotesi (piuttosto blande) per l'applicazione del TLC, la stessa variabile è approssimabile con una Gaussiana Standard

Ciao Tommik, per un modello gaussiano vale $\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} ~mathcal N(0,1)$ la differenza con l'ultima relazione è che al denominatore in un caso c-'è la ls deviazione standard della popolazione nell'altro la deviazione standard campionaria $ (bar(X)-mu)/S sqrt(n)~mathcal(T)_((n-1)) $