Funzione applicata ad una variabile aleatoria continua

Buongiorno,
chiedo aiuto per questo esercizio di esame che non riesco a far tornare. Il professore chiede:
Determinare la PDF del quadrato = $f(T)$ = $T^2$ di una variabile aleatoria uniforme definita su $[0;2]$.
quindi io avrò $varphi(t) = 1/{2-0} = 1/2$ su $[0;2]$
ora io ho usato la seguente definizione data dal professore
$P(x_0<= f(T) <= x_1)$ = $P(f^{-1}(x_0) <= T <= f^{-1}(x_1))$

$int_ {f^{-1}(x_0)}^{f^{-1}(x_1)} varphi (t) dt$ = $ int_ {x_0}^{x_1} (varphi(f^{-1}(s)))/(f^{1}(f^{-1}(s)))$

e la PDF risulta essere $(varphi(f^{-1}(s)))/(f^{1}(f^{-1}(s)))$

avro allora la mia PDF di $T^2$ descritta come $(1/2)/(1/(2sqrt(t)))$ cioè $sqrt(t)$ con $0<=t<=4$.

ora questi calcoli sembran giusti ma quando provo a calcolare l'area $int_{0}^{4} sqrt(t) dt != 1$ il che , per definizione, non può essere.
HELP.

Sia $Y=T^2$ dove T è uniforme in $[0;2]$

allora, dato che la funzione di trasformazione è monotona, trovi subito

$f_(Y)(y)=1/2 |d/(dy)g^(-1)(y)|=1/(4sqrt(y))mathbb{1}_((0;4])(y)$

così vedi che torna.

Anche senza applicare la formula precotta puoi dimostrartela partendo dalla definizione:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

La CDF della uniforme in oggetto è $F_(T)(t)=t/2$

$F_Y(y)=mathbb{P}[Y<=y]=mathbb{P}[t<=sqrt(y)]=F_T(sqrt(y))=sqrt(y)/2$

derivi e trovi la PDF richiesta

$f_Y(y)=d/(dy)F_Y(y)=1/(4sqrt(y))mathbb{1}_((0;4])(y)$

dov'è il tuo errore?

Se dividi per $|d/(dt)g(t)|$ invece di moltiplicare¹ per $|d/(dy)g^(-1)(y)|$ come faccio io...devi anche scrivere $t=g^(-1)(y)$ altrimenti le cose non possono tornare....devi trovarti con una funzione di $y$ non di $t$.

Benvenuto in questa community; vedo con piacere che hai subito rispettato il regolamento


buona lettura e riflessione

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Note

1. si può fare in entrambi i modi, per un noto teorema sull'inversione locale ↑

Grazie mille per la conferma.
io,infatti, ho sempre usato la sostituzione di paramentro nell' integrale. e infatti vine lo stesso risultato tuo.
mettendo $t=sqrt(s)$ e $dt=1/sqrt(s) ds$ e modificando gli estremi di integrazione che diventan $[0;4]$.
non riesco a capire come il professore abbia ricavato questa formula.

1) gli estremi di integrazione che diventan $[0;4]$

2) non riesco a capire come il professore abbia ricavato questa formula.

1) anche se $x in [0;2]$, $y in (0;4]$. La cosa non crea problemi dato che $mathbb{P}[Y=0]=0$

2) Non ho la sfera di cristallo, ma posso immaginare che abbia fatto così:

Sia $X$ una variabile aleatoria dotata di $F_X(x)$
Sia inoltre $Y=g(X)$ una funzione di trasformazione continua e crescente (come nel tuo caso $y=x^2mathbb{1}_([0;2])(x)$)

è evidente che, per la monotonicità della funzione di trasformazione, abbiamo anche

$x=g^(-1)(y)$

Per definizione abbiamo

$F_Y(y)=mathbb{P}[Y<=y]=mathbb{P}[X<=g^(-1)(y)]=F_X[g^(-1)(y)]$

deriviamo per ottenere subito la densità

$f_Y(y)=f_X(g^(-1)(y))(dx)/(dy)=f_X(g^(-1)(y))/((dy)/(dx))=f_X(x)/(g'(x))$

Nel tuo caso hai

$f_X(x)=1/2$

$g'(x)=2x$

$x=sqrt(y)$

sostituendo trovi subito $f_Y(y)=1/(2\cdot2sqrt(y))mathbb{1}_((0;4])(y)$