Teorema limite centrale

[tommik]

Buongiorno ragazzi.
stavo facendo un esercizio trovato su internet sulla trasformazione di PDF in Gaussiane.
ho visto come trasformare, partendo da una Bernoulliana, in una Gaussiana tramite la :
$zeta$ = Bernoulliana
$ P (Z=(zeta - mu)/sigma)$
ovviamnetme $mu=n*p$ e $sigma=sqrt(n*p*q)$
e usando le regole di approssimazione $np>5$ ed $nq>5$
essendo che anche la Poisson si può approssiamre in una Gaussiana mi chiedevo se
Data una V.A. Esponenziale si possa approssimare in una Gaussiana?
Data una V.A. Geometrica si possa approssimare in una Gaussiana?
Grazie

Ultima modifica di tommik il 04/04/2020, 12:02, modificato 2 volte in totale.
Motivazione: modificato il titolo

sotto opportune condizioni sì. E' il teorema del limite centrale. La versione applicata alla binomiale si chiama teorema di De Moivre - Laplace ma è sempre la stessa cosa.
Non è necessario zampettare in internet. Nel forum ci sono centinaia e centinaia di esercizi tutti completamente svolti e commentati.

Digitando le teorema limite centrale nella cella di ricerca mi sono usciti oltre 400 risultati

PS1: normalizzazione delle PDF vuol dire un'altra cosa; significa trovare la costante che "normalizzi" la densità, ovvero la costante che renda 1 l'integrale....cambio il titolo

PS2:nella formula che hai scritto, $zeta$ non è una bernulliana ma una SOMMA di bernulliane, non è proprio la stessa cosa



Esempio

la funzione $y=e^(-2x)$, $x>0$ è una densit๠ma non è normalizzata.

Questa invece $y=2e^(-2x)$ è la stessa densità normalizzata.

---

Note

1. per essere precisi occorrerebbe dire che è "proporzionale" ad una densità nota ↑

Data una V.A. Esponenziale si possa approssimare in una Gaussiana?
Data una V.A. Geometrica si possa approssimare in una Gaussiana?
Grazie

Direi di no. Il teorema del limite centrale ti permette di farlo con _somme_ di esponenziali o somme di geometriche.

Ma _un_'esponenziale? _Una_ geometrica? Direi di no. Forse non ho capito la domanda. O almeno, la gaussiana con la stessa media e stessa varianza di un'esponenziale è una pessima approssimazione all'esponenziale.

@ghira: mi permetto di fare un'osservazione [cercando] di interpretare la richiesta dell'OP

Nel suo messaggio ha visto come si possa applicare il TLC alla somma di bernulliane (avrà visto quella formula in rete) e chiede se tale formula può essere applicata ad altre distribuzioni (quindi ha citato due delle poche distribuzioni che conosce)

La risposta quindi è sì, sotto opportune condizioni il TLC può essere applicato a tutte le distribuzioni.

Per un'esponenziale? Ovvio che non serve a nulla, la somma è una distribuzione nota....però cerchiamo di entrare anche nella testa di chi scrive...

adesso gli preparo anche un esempietto interessante (secondo me)



^^^^^^^^^^^^^^
Il TLC si applica, sotto opportune condizioni, alla somma di $n$ variabili aleatorie i.i.d. e con $n$ sufficientemente grande. Tale $n$ grande, nella maggior parte dei casi è abbastanza piccolo...regole empiriche lo collocano ad un valore di $n>=32$....ma in molti casi tale n è davvero molto piccolo. Pensiamo anche che quando stiamo calcolando una probabilità in realtà è una semplice % quindi a volte stiamo a portarci dietro 10 decimali e poi esprimiamo il risultato in modo molto approssimato: beh viene circa una volta su 3

Esempio:

Lanciamo 2 dadi a sei facce regolari....

Detta $X$ la variabile che descrive la somma dei numeri estratti, calcoliamo la probabilità che $X>=9$

Con una semplice osservazione dello spazio campionario vediamo che tale probabilità è

$mathbb{P}[X>=9]=10/36~~28%$

Applichiamo il teorema del limite centrale con un $n$ davvero piccolo: $n=2$

La variabile $X$ è questa,

$X={{: ( 1 , 2, 3 , 4 ,5 , 6 ),( 1/6 , 1/6 , 1/6 , 1/6 , 1/6 , 1/6 ) :}$

Di media $mathbb{E}[X]=3.5$ e varianza $mathbb{V}[X]~~2.92$

Applichiamo dunque il TLC ottenendo

$mathbb{P}[X>=9]=mathbb{P}[Z>=(Sigma X-n mu)/(sigmasqrt(n))]=mathbb{P}[Z>=(8.5-7)/(2.415)]~~27%$

....27 contro 28% mi pare già un ottimo risultato....all'aumentare di $n$ la precisione aumenta

@ghira: mi permetto di fare un'osservazione [cercando] di interpretare la richiesta dell'OP

Non intendevo dire che la tua risposta era sbagliata. L'OP ha detto "bernoulliana" ma come hai detto stava ovviamente parlando di una binomiale.

Per "una" binomiale o "una" poisson, con parametri opportuni, ok, usiamo la gaussiana.

Per "una" esponenziale direi che la Gaussiana non va bene. Ma anche qui forse l'OP stava parlando di somme? Mi sembrava opportuno dire qualcosa.

Per "una" esponenziale direi che la Gaussiana non va bene. Ma anche qui forse l'OP stava parlando di somme? Mi sembrava opportuno dire qualcosa.

hai fatto bene ad intervenire....ho colto l'occasione per specificare meglio il concetto

Sì, intendeva somme (spero): dico questo perché ha scritto bernulliana e ci ha messo i parametri della somma....

Grazie mille per le risposte siete stati chiarissimi.
comunque mi scuso per come era scritto il messaggio intendevo (ma stupidamente non l' ho scritto) somme delle variabili partendo da una bernoulliana, esponenziale, geometrica ecc..
Grazie

Grazie mille per le risposte siete stati chiarissimi.
comunque mi scuso per come era scritto il messaggio intendevo (ma stupidamente non l' ho scritto) somme delle variabili partendo da una bernoulliana, esponenziale, geometrica ecc..
Grazie

OK. Ma non funziona con le somme delle variabili Cauchy, per esempio.