Esercizio intervalli di predizione

Buongiorno a tutti,

Ho un problemino con questo esercizio:

"Sia $X_1, X_2, ..., X_n, X_(n+1)$ un campione normale di media incognita $mu$ e varianza pari a $1$.

Sia $bar(X)_n= 1/n sum^( = \ln)X_i $ la media aritmetica dei primi $n$ dati.

Supponendo che $bar(X)_n=4$, trova un intervallo di predizione per $X_(n+1)$ al 90% di confidenza."

Io so che:

$ X_(n+1) in (bar(X)_n - t_(alpha/2; n-1) * S_n * sqrt(1+1/n) ; bar(X)_n + t_(alpha/2; n-1) * S_n * sqrt(1+1/n))$

Domanda

Mi confermate che, in questo caso, i suddetti valori sono seguenti?

$alpha/2= 0,05$

$n=4$

$t_(alpha/2; n-1)= 2,353$

$S_n= sigma=1$

Sapreste spiegarmi come mai utilizzo la deviazione standard anzichè la deviazione standard campionaria?

Questo sarebbe vero solo se, nella definizione della deviazione standard campionaria, $n$ fosse uguale ad $n+1$.

Sono un po' confusa.

Sono un po' confusa.

un po' tanto confusa....non puoi andare a caso, devi necessariamente studiare di più. Hai evidentemente copiato una formula trovata sul libro ma che non si adatta al tuo esercizio.

Come ricavarsi la corretta formula da usare:
Nel tuo esercizio, è evidente che la media campionaria $bar(X)_n$ ha distribuzione normale di media $mu$ e varianza $1/n$ mentre l'osservazione futura, $X_(n+1)$, come tutte le altre, per le ipotesi di campionamento bernulliano (casuale), ha la stessa distribuzione della popolazione: $N(mu;1)$.
A questo punto è evidente che la variabile $[X_(n+1)-bar(X)_n]~N(0;1+1/n)$ e ciò per le sottostanti ipotesi di indipendenza fra gli elementi del campione.

Dato che la distribuzione non dipende più dal parametro da stimare, abbiamo trovato la quantità pivotale da usare:¹


$(X_(n+1)-bar(X)_n)/sqrt(1+1/n)~ Phi$

Ora ricavarsi l'intervallo di predizione è davvero immediato

Supponendo che $bar(X)_n=4$

$n=4$?

No, $n$ è ignoto....4 è la media degli $n$ valori....quindi $n$ rimane così nella soluzione

ciao ciao

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Note

1. $Phi$ è la Gaussiana standard ↑

$(X_(n+1)-bar(X)_n)/sqrt(1+1/n)~ Phi$

Ora ricavarsi l'intervallo di predizione è davvero immediato

Innanzitutto ti ringrazio per la risposta tommik.
La relazione che io ho sfruttato è:

$(X_(n+1)-bar(X)_n)/(s_n*sqrt(1+1/n))~ t_(n-1)$

In questo caso non è stata una scelta appropriata in quanto non viene fornita la varianza campionaria, ma la varianza, è corretto?

Presumo dunque che l'intervallo di predizione è dunque:

$X_(n+1) in ( bar(x)- (z_(alpha/2) *sigma/sqrt(n)) ; bar(x) + (z_(alpha/2) *sigma/sqrt(n))) ; $

Supponendo che $bar(X)_n=4$

$n=4$?

No, $n$ è ignoto....4 è la media degli $n$ valori....quindi $n$ rimane così nella soluzione

ciao ciao

Giusto, $n$ è incognito, pardon per la gaffe.

Presumo dunque che l'intervallo di predizione è dunque:

$X_(n+1) in ( bar(x)- (z_(alpha/2) *sigma/sqrt(n)) ; bar(x) + (z_(alpha/2) *sigma/sqrt(n))) ; $

No

$(X_(n+1)-bar(X)_n)/sqrt(1+1/n)~ Phi$

Ora ricavarsi l'intervallo di predizione è davvero immediato

Ciao tommik, come sempre sono la tartaruga del forum.
Potresti mostrarmi come ricavarsi l'intervallo di predizione partendo da ciò che hai detto?

fissato un livello di confidenza $(1-alpha)100%$ basta impostare la seguente disuguaglianza¹

$|(X_(n+1)-bar(X)_n)/sqrt(1+1/n)|<=z_(alpha/2)$ e risolvere in $X_(n+1)$ ottenendo

$bar(X)_n-z_(alpha/2)*sqrt(1+1/n)<=X_(n+1)<=bar(X)_n+z_(alpha/2)*sqrt(1+1/n)$

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Note

1. con $z_(alpha/2)$ indico il quantile della normale di ordine $(1-alpha/2)$ ovvero il punto che si lascia a sinistra un'area sotto la gaussiana standard pari a $1-alpha/2$ ↑

grazieeeeeee