Domanda sulla statistica (da neofita)

Sì.

Vero Tommik e ghira?

Quindi la probabilità di sparare minimo 2 colpi su 3 dovrebbe essere 24,15% ??

Volevi esattamente o almeno 2 su 3? Sembrava "esattamente". Ma sì il metodo è questo. Non ho controllato i conti.

Ripensandoci bene, l'esempio dei 100 bussolotti è sbagliato perché rientrerebbe tra gli eventi dipendenti. Invece nel mio caso bisogna ragionare su infiniti bussolotti, dunque su eventi indipendenti.

Mica tanto sbagliato .... basta pensare di "reintegrare" la biglia estratta. Così facendo, le probabilità iniziali sono sempre le stesse.

@ghira
Diciamo che il testo è un po' indefinito in tal senso quindi assumo che sia "almeno" 2 colpi buoni

Ma questa

Quindi la probabilità di sparare minimo 2 colpi su 3 dovrebbe essere 24,15% ??

l'ha detta giusta

Quale fosse realmente il quesito iniziale lo sa solo lui, non penso che il testo che ha scritto sia quello esattamente originale, a mia impressione, ma tutto può essere

Sì.

Vero Tommik e ghira?

mi stai per caso prendendo per i fondelli?

Volevi esattamente o almeno 2 su 3? Sembrava "esattamente". Ma sì il metodo è questo. Non ho controllato i conti.

Nel quesito iniziale facevo riferimento a esattamente 2 su 3, ma in "corso d'opera" mi sono reso conto che nel mio caso era più utile sapere almeno 2 su 3.

Quindi la probabilità di sparare minimo 2 colpi su 3 dovrebbe essere 24,15% ??

Perché "minimo due colpi"? Se il testo dice "nonostante avessimo il 32% di sparare, invece riusciamo a sparare 2 proiettili (su tre tentativi)", mi pare proprio che si intende "due volte sparo, una volta la pistola si inceppa".
Quindi la soluzione è \(6.96\%\times 3=20.88\%\).

Quanto alla richiesta della formula, il ragionamento da fare è:
a) ho un esperimento che può avere solo due esiti: la pistola o spara, con probabilità \(0.32\), o si inceppa, con probabilità \(0.68\); in gergo si chiama "prova bernoulliana";
b) ripeto l'esperimento tre volte e gli esperimenti sono indipendenti, ovvero la probabilità di sparare o di incepparsi non dipende da quello che è successo in precedenti tentativi: ogni volta che provo, sparo con probabilità \(0.32\);
c) dato che le prove sono indipendenti, la probabilità di tre esiti è il prodotto delle rispettive probabilità; se la pistola spara due volte e una volta si inceppa, devo moltiplicare \(0.32\times0.32\times0.68=0.0696\);
d) però così facendo ho implicitamente considerato solo la sequenza: riesco a sparare, riesco a sparare, non riesco a sparare, ma in realtà potrei non riuscire a sparare al primo o al secondo tentativo, non solo al terzo; ci sono tre sequenze possibili e devo quindi moltiplicare \(0.0696\) per \(3\);
e) in generale, se ci sono $n$ prove e $k$ successi, il numero delle diverse successioni di esiti è \(\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}\), quindi la formula è: \(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\), che è la formula che esprime le probabilità che può assumere una variabile aleatoria binomiale di parametri $n$ (il numero delle prove) e $p$ (la probabilità di successo) al variare di $k$, il numero dei successi (una binomiale è una somma di esiti di prove bernoulliane).
Nel tuo caso, con $n=3, p=0.32,k=2$: \(\binom{3}{2}(0.32)^2(0.68)^{3-2}=\binom{3}{2}(0.32)^2(0.68)=0.2088\).

Grazie per questa spiegazione esaustiva, la apprezzo molto anche se non la merito, avrei dovuto riprendere in mano qualche libro invece di proporre un quesito cosi banale.
Ad ogni modo grazie davvero.

Quando si ha a che fare con così pochi casi (il tuo spazio degli eventi è formato da $2^3$ esiti) è sempre consigliabile procedere in maniera "spartana" scrivendo gli esiti possibili, e questo non perché la formula non sia d'aiuto, anzi. Però si potrebbe perdere di vista cosa sta realmente accadendo all'interno del tuo "esperimento", e a volte le formule complicano un po'le cose. Detto ciò il tuo risultato è corretto. Formalmente, l'esito di una prova (in questo caso di uno sparo) ha lo 0.32 di probabilità di successo ($p$) e lo 0.68 di insuccesso. Ogni prova è una bernoulliana, ed $n$ bernoulliane possoni essere formalizzate da una binomiale $X~Bnom(n,p)$, ossia in questo caso $X~Bnom(3,0.32)$. Adesso, a te interessa la probabilità che vi siano almeno due spari, ossia due successi. Trattandosi di una variabile discreta (credo tu sappia cosa significa) questo problema si traduce semplicemente nel calcolare una sommatoria, e lo puoi fare in due modi: sommare le probabilità di successo (tutti i modi di ottenere 2 successi da 3 prove più tutti i modi di ottenere 3 successi da 3 prove) oppure sottrarre ad 1 le probabilità di insuccesso (0 sparì su 3 prove più 1 solo sparo su 3 prove). Quindi la formula che ti serve per calcolare la probabilità cercata è:
\[\sum_{w=2}^{3}{3\choose w}0.32^w(1-0.32)^{1-w}=\]
\[=1-\sum_{w=0}^{1}{3\choose w}0.32^w(1-0.32)^{1-w}\]
dove $w$ è, appunto, il numero di successi. Se fai i calcoli ottieni proprio il tuo stesso risultato con entrambe le formule.