Valore atteso distribuzione geometrica

Buongiorno a tutti,

sono agli inizi del mio studio di statistica e analisi dei dati e ho questo dubbio. Vorrei chiedervi se il valore atteso di una distribuzione geometrica (dove X è una variabile casuale geometrica di parametro p) sia E(X)=1/p (come trovo praticamente ovunque online) oppure E(X)=(1-p)/p

La seconda formula la trovo solo ed esclusivamente sul materiale che mi è stato fornito per studiare ma non riesco a trovare un riscontro in altre fonti.

Grazie mille!

Entrambe le medie che hai indicato sono corrette ...lo so sembra una cosa strana ma la spiegazione c'è!

Esistono infatti due diverse parametrizzazioni per la distribuzione geometrica:

X: conta il numero di prove prima del primo successo

Y: conta il numero di fallimenti prima del primo successo

Il supporto delle due distribuzioni è diverso: $x in {1;2;...}$ mentre $y in {0;1,2;...}$ come pure sono diverse le pmf (probability mass function) delle due variabili

Si dimostra facilmente che $mathbb{E}[X]=1/p$

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$E(X)=sum_(x=1)^(+oo)xq^(x-1)p=psum_(x=1)^(+oo)d/(dq)q^x=p d/(dq)sum_(x=1)^(oo)q^x=p d/(dq) q/(1-q)=p(1-q+q)/(1-q)^2=p/p^2=1/p$

e si osserva altrettanto facilmente che $Y=X-1$ e quindi

$mathbb{E}[Y]=mathbb{E}[X]-1=1/p-1=(1-p)/p$

Quindi entrambe le medie sono corrette, occorre specificare quale sia la distribuzione da usare. Alcuni testi chiamano le due distribuzioni in modo diverso: Geometrica e Geometrica modificata ma non vi è uniformità in tali definizioni quindi la cosa migliore da fare è specificare sempre quale sia la pmf a cui ci si riferisce¹.

qui trovi la scheda di entrambe le Leggi in questione.

@Geppo7: questo è IL forum di Matematica, ed è gradito che le formule vengano scritte in modo conveniente (ti ho messo anche i link di spiegazione)....ci sono numerose altre piattaforme dove ciò non è richiesto

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Note

1. ln genere lo si capisce dal testo, dall'esperimento che si sta effettuando, dal dominio della variabile, dalla sua densità ecc ecc. In caso di indeterminazione occorre sapere chi ha scritto l'esercizio che cosa intenda. La stessa cosa accade anche con diverse altre distribuzioni: es Binomiale Negativa, Gamma, $chi^2$, Esponenziale negativa ecc ecc ↑

La seconda formula la trovo solo ed esclusivamente sul materiale che mi è stato fornito per studiare ma non riesco a trovare un riscontro in altre fonti.

Ti ha già risposto esaurientemente tommik. Se cerchi altre fonti, puoi confrontare questi documenti:
a) in http://www-dimat.unipv.it/ferrario/geometrica-esponenziale.pdf la distribuzione geometrica basata su $P(X=k)=(1-p)^{k-1} p$, con valore atteso $1/p$, rappresenta il tempo di primo successo.
b) in http://calvino.polito.it/~riganti/Prob_Stat_teoria_esercizi.pdf la distribuzione geometrica basata su $P(X=k)=(1-p)^k p$, con valore atteso $(1-p) / p$, rappresenta il tempo di attesa del primo successo (quindi il numero dei fallimenti).

Quanto al motivo per cui ti è stata proposta la seconda variante, può essere che è stata preferita perché si tratta di quella usata in R, un software molto diffuso tra gli statistici e anche nella didattica. Vedi ad esempio qui.

Grazie mille Sergio per i link, in effetti utilizzeremo Python e probabilmente la motivazione resta la medesima.

Entrambe le medie che hai indicato sono corrette ...lo so sembra una cosa strana ma la spiegazione c'è!
...

Grazie tommik per la spiegazione rapida, chiara ed esauriente. Effettivamente mi mancavano dei dati che mi avrebbero potuto indirizzare nel ragionamento.

Grazie anche per le indicazioni su come scrivere le formule sul forum, ne farò tesoro.

Tommik e Sergio lo sanno, ma Geppo7 forse no. Questo è uno di quei momenti in cui un altro modo per calcolare la media può essere più immediato. Funziona solo per le distribuzioni sugli interi non-negativi, ma guarda caso..

$E(X)=\sum_{x=1}^{\infty}P(X\geqx)=1+(1-p)+(1-p)^2+...=\frac{1}{1-(1-p)}=\frac{1}{p}$

(modificato per correggere un refuso assurdo e aggiungere un passaggio intermedio magari utile per qualcuno)

Grazie davvero a tutti per i preziosi chiarimenti.