Quesito su distribuzioni

Ciao
volevo sapere se:
1 dati i valori $min$, $max$ e $mediana$ di una distribuzione triangolare ne è possibile ricavare la moda,
2 se di una distribuzione normale sono noti il 5° e 95° percentile si può affermare che la media è la semisomma dei due. Che si può dire della deviazione standard? C'è modo di ricavarla per via analitica o si deve passare dalla normale standardizzata e quindi per via grafica?
Scusate la potenziale banalità dei quesiti.
Grazie.
Lorenzo

1) no, servono altre informazioni


2) Sì ma è una cosa utile solo per esercizio. Conoscendo due percentili qualunque trovi immediatamente $mu$ e $sigma$

Per dimostrare che la media è la semisomma dei due percentili è davvero banale.

Indico con $A$ il 5° percentile e con $B$ il 95° percentile (noti per ipotesi).

Allora subito abbiamo

${{: ( (A-mu)/sigma=-1.64 ),( (B-mu)/sigma=1.64 ) :} rarr{{: ( A-mu=-1.64sigma ),( B-mu=1.64sigma ) :}$

sommo membro a membro e risolvo in $mu$ ottenendo subito

$mu=(A+B)/2$

...ma ripeto è una cosa inutile perché risolvendo il sistema trovi subito sia media che deviazione standard

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

ma sei tu?

si, sono io, è grave?
L.

Cambio la mia risposta 1)

direi di sì.....con qualche ragionamento si può fare

Se ti interessa ti indico come fare....non ho voglia di fare tutti i conticini

Ciao tommik
grazie della risposta. Scusa ma sono un po' de coccio...
Se $m$ è la mediana allora so che l'area sotto la distribuzione a destra di $m$ è uguale a quella alla sinistra e pari a $0.5$. Se in più so che $m$ non è la semisomma di $max$ e $min$ della distribuzione so che $m$ non coincide con la moda. A questo punto l'indeterminatezza sta nel fatto che posso avere moda$>m$ e moda$<m$ e non ho modo di andare oltre ovvero di calcolare il valore della moda. Corretto?
Grazie di nuovo.
Lorenzo

Cambio la mia risposta 1)

direi di sì.....con qualche ragionamento si può fare

Se ti interessa ti indico come fare....non ho voglia di fare tutti i conticini

mi interessa, dammi almeno qualche dritta....
L.

1) Se la mediana coincide con il punto medio $ (a+b)/2$ allora la distribuzione è simmetrica e la moda coincide con media e mediana

2) se la mediana è minore del punto medio vuol dire che la distribuzione è asimmetrica positiva, cioè la moda è minore della mediana. A questo punto sai che l'area alla destra della mediana (che vale comunque $1/2$) è data dall'area sotto una retta (è un triangolo)....e molto banalmente ti calcoli la retta. A questo punto mi sembra facile risalire alla moda avendo già una parte analitica della densità...

3) se la mediana è maggiore del punto medio stesso discorso, in modo speculare....


se vuoi mettiamo giù un esempietto ma in realtà sono conti davvero banali...è più difficile spiegarlo che risolvere

Perfetto, grazie. Vedo se ci riesco da solo e ti faccio sapere, buona serata.
Lorenzo

Ti faccio un esempio da seguire passo-passo.

Prima di tutto, senza perdita di generalità, possiamo considerare che il minimo punto del supporto sia sempre 0. Ciò semplifica di molto i calcoli e, anche se non fosse così, basterebbe una traslazione per riportare il minimo a zero.

Quindi supponiamo di avere

Una distribuzione triangolare continua definita in $x in [0;2]$ con mediana $me=(4-sqrt(6))/2$
Calcolare la moda

Osserviamo che la mediana è circa $0.78$ che è minore del punto medio 1 e quindi la moda è "a sinistra" della mediana.

Sapendo che l'area a destra della mediana è $1/2$ e che la figura a destra della mediana è un triangolo di vertici

$((4-sqrt(6))/2;0)$

$(2;0)$

$((4-sqrt(6))/2;y)$

trovi subito $y$. Ora con la formula della retta che passa per due punti assegnati trovi anche l'equazione della retta che è

$y=4/3-2/3x$

Immediatamente vedi che TUTTA l'area sotto tale retta nel dominio assegnato è $(2xx4/3)/2=4/3>1$

Significa che bisogna scartare il triangolo di sinistra di area $1/3$ e di vertici $(0;0)$; $(0;4/3)$;$(m;y)$

in altri termini la moda si trova risolvendo in m la seguente equazione ($y$ non serve calolarlo)

$(4/3xx m)/2=1/3 rarr m=1/2$

fine

Dunque. Siano:
$a$, $b$, $c$, e $m$ rispettivamente minimo, massimo, moda e mediana della distribuzione, tutti noti tranne $c$ e sia $m<(a+b)/2$ per cui $c<m$.
Se considero il triangolo di vertici $(a,0)$, $(c,h)$ e $(b,0)$ ricavo $h$ imponendo che la sua area sia uguale a $1$.
Se considero il triangolo di vertici $(m,0)$, $(m,k)$ (con $k$ intersezione della verticale per ($m,0)$ e la retta fra $(c,h)$ e $(m,0)$) e $(b,0)$ ricavo $k$ imponendo che la sua area sia uguale a $1/2$.
Se faccio la similitudine fra questo triangolo e il triangolo di vertici $(c,0)$, $(c,h)$ e $(b,0)$ posso impostare la seguente relazione
$(b-m):k=(b-c):h$
da cui ricaverei $c$. Il problema è che assegnando dei valori ai termini noti mi viene $c<0$.....
Sto sbagliando qualcosa ma non capisco cosa ... help!!!
Lorenzo