04/09/2007, 14:52
ciao! qualcuno sa dirmi come posso risolvere questo problema di probabilità?
Un dado perfettamente equilibrato con facce numerate da 1 a 6 viene lanciato più volte
a) qual'è la probabilità che lanciandolo 3 volte la somma dei punteggi ottenuta sia divisibile per 6?
b) che lanciandolo n volte la somma dei punteggi sia divisibile per 6?
04/09/2007, 15:44
Il primo è molto semplice.. se consideriamo come spazio dei campioni:
$ omega = {1,2,3,4,5,6}^3 $ avremo che ogni singolo esito ha come probabilità $ 1/216 $ di avvenire.
Dato che ci servono gli esiti che come somma delle faccie danno numeri divisibili per 6, a noi interessa soltanto quando la somma delle faccie dà 6, 12 o 18.
Analizziamo il primo caso, cioè somma delle faccie = 6.
6 può uscire fuori dalle seguenti triple non ordinate:
$ {2,2,2} , {3,2,1} , {4,1,1} $ che corrispondono rispettivamente a 1, 6 e 3 triple ordinate che sarebbero $ (2,2,2) , (1,2,3) , (1,3,2) , (2,1,3) , (2,3,1) , (3,2,1) , (3,1,2) , (1,1,4) , (1,4,1) , (4,1,1) $.
Di conseguenza la probabilità che la somma delle faccie sia 6 è $ 10/216 $ .
Facendo piu rapidamente i casi 12 e 18 si avrà che:
12 è dato dalle triple non ordinate: $ {4,4,4} , {5,4,3} , {5,5,2} , {6,5,1} , {6,4,2} , {6,3,3} $ che corrispondono a 1, 6, 3, 6, 6, 3 coppie ordinate. Quindi $ 25/216 $
18 ovviamente può essere dato soltanto dalla tripla (6,6,6) e quindi $ 1/216 $
Ricapitolando, la probabilità che in tre lanci si abbia una somma di punteggi divisibile per 6 è $ 36/216 = 1/6 $.
Per casi semplici non è difficile, ma per la generalizzazione a $ n lanci $ non ho una idea precisa, ma intanto per $ n = 1,2,3 $ la probabilità è sempre $ 1/6 $
E non penso sia un caso :p
04/09/2007, 16:52
antrope ha scritto:...
Per casi semplici non è difficile, ma per la generalizzazione a $ n lanci $ non ho una idea precisa, ma intanto per $ n = 1,2,3 $ la probabilità è sempre $ 1/6 $
E non penso sia un caso :p
La generalizzazione è molto semplice.
La somma dei primi n - 1 lanci o è un multiplo di 6 o è compresa tra due multipli di 6. Per raggiungere il multiplo successivo si ha perciò 1 possibilità su 6.