Speranza matematica e gioco equo

Ciao a tutti, si trovano varie definizioni di gioco equo, alcune delle quali non mi convincono.
Io sapevo che un gioco è equo quando la speranza matematica è nulla.
Consideriamo il classico esempio di testa o croce, dove si vince 1€ se esce testa, scommettendo 1€:
$E[X] = 1/2 * 1 + 1/2 * (-1) = 0$
quindi il gioco è equo.

In rete si trovano definizioni un po' confusionarie, come questa da wikipedia:

In probabilità, si definisce gioco equo il gioco nell'ambito del quale si paga al vincitore una somma $Q$ pari all'importo giocato $S$ diviso per la probabilità di vittoria $p$.

$Q=S/p$.
Per esempio, scommettendo 1€ a 'testa o croce' sulla possibilità che esca testa, se si verifica l'evento, che ha probabilità $1/2$, perché il gioco sia equo il vincitore deve ricevere un premio di 2€.

Definizione che fa riferimento a un sito appartenente all'università Bocconi.
Come potete spiegare questa discrepanza?

Ti ridanno l'euro giocato, più
un altro euro.

Ok, ma, da definizione, il gioco dovrebbe essere equo anche senza ricevere indietro l'euro giocato, proprio perché, anche in questo caso, il valore atteso è 0 (ricevendo 2€ il valore atteso è 0.5) o sbaglio?
Ti riformulo la domanda:
Mi dici come si arriva alla formula
$Q=S/p$?

Ok, ma, da definizione, il gioco dovrebbe essere equo anche senza ricevere indietro l'euro giocato,

Mica tanto.

Paghi un euro. Se perdi, non ti danno nulla. Se vinci e ti danno un euro, non hai guadagnato nulla. Se ti
danno due euro hai guadagnato qualcosa.

A me non piace questa visione della cosa. Preferisco di gran lunga la versione con -1 se perdi e +1 se vinci.

Comunque, se perdi e non ti danno nulla, hai perso un euro. Se vinci e ti danno due euro, hai guadagnato
un euro.

Ultima modifica di ghira il 06/01/2023, 17:45, modificato 1 volta in totale.

Mi dici come si arriva alla formula
$Q=S/p$?

I "premi" sono 0 se perdi, $Q$ se vinci.

Qualsiasi persona normale direbbe che guadagni $-S$ se perdi, $Q-S$ se vinci. (Nel "premio" $Q$, la somma giocata $S$ non è un guadagno.)

Vogliamo $-S(1-p)+(Q-S)p=0$ per un gioco equo.

$-S+Sp+Qp-Sp=0$
$-S+Qp=0$
$Q=S/p$

Ho capito. Concordo con te, visione confusionaria. Anch'io preferisco di gran lunga la versione con +1 e -1.
Grazie per i chiarimenti