valore atteso e varianza

Ho il seguente quesito: Alessio e Berta possiedono diverse monete truccate in modo che esca croce con probabilità uguale a $1/3$ . Prenderanno ciascuno una moneta truccata e la lanceranno fino a quando otterranno una croce per la prima volta. Siano $X_A$ e $X_B$ il numero di lanci effettuati rispettivamente da Alessio e Berta, calcolare il valore atteso $X_A$ e la varianza di $X_A$ .

È giusto dire che il valore atteso è $\sum_{k=0}^n k*((n!)/(k!*(n-k)!))*(2/3)^k * (1/3)^{n-k}$ ?

$n$ cosa sarebbe? In ogni caso, no.

n é il numero di lanci. Come posso calcolarlo allora?

Cosa intendi con "il numero di lanci"?

Qual è la probabilità di vedere croce per la prima volta dopo 1, 2, 3, ... lanci?

(O puoi considerare una catena di Markov con due stati se preferisci.)

Vedo almeno due possibilità qui:

(i) Dovresti riconoscere la distribuzione e conoscere già la media e la varianza
(ii) Devi calcolare la media e varianza "a mani nude"

Da quello che sai del corso che stai facendo, quale possibilità ti sembra più verosimile?

Si, n è il numero di lanci necessari per ottenere croce per la prima volta.
Penso che io debba calcolare media e varianza!

Si, n è il numero di lanci necessari per ottenere croce per la prima volta.

Nella formula che citi, come può esserlo? Concretamente cosa proponevi di fare con quella formula? Comunque, non c'entra nulla con quello che devi fare.

Penso che io debba calcolare media e varianza!

Usando una formula che consoci già perché conosci la distribuzione o devi calcolare la media e la varianza partendo da zero? Per la media ok ma derivare la formula per la varianza di quella distribuzione non è esattamente banale.

Dallo stile dell'esercizio, la seconda possibilità sembra inverosimile ma non conosco il tuo corso, ovviamente.

Com'è definita la media di una distribuzione? Hai provato a calcolarla a mano qui partendo da zero?
Qual è la probabilità di ottenere croce per la prima volta dopo 1, 2, 3, ... $k$ lanci?