Esercizio dado, urna e variabile aleatoria

La mia prima reazione è di fare così:

Chiamiamo 0,1,2,3 gli eventi "Ci sono 0, 1, 2, 3 palline bianche"

Chiamiamo "BN" l'evento "peschiamo una bianca e una nera".

Cosa sono $P(BN|i)$ per ogni $i$?

Adesso Bayes: Cosa sono $P(i|BN)$ per ogni $i$?

La mia prima reazione è di fare così:

Chiamiamo 0,1,2,3 gli eventi "Ci sono 0, 1, 2, 3 palline bianche"

Chiamiamo "BN" l'evento "peschiamo una bianca e una nera".

Cosa sono $P(BN|i)$ per ogni $i$?

Adesso Bayes: Cosa sono $P(i|BN)$ per ogni $i$?

Quindi in questo caso, se applichiamo Bayes, dire "hai pescato una bianca e una nera (A), qual è la probabilità che la terza sia nera?(B)" equivale a fare la probabilità totale del pescare 1 bianca e 1 nera (con $i$ che include i casi 2b1n e 1b2n) e poi fare la probabilità condizionata con gli eventi singoli?

E in generale, così mi ritrovo anche per gli altri esercizi, posso applicare Bayes sempre in questo modo? In generale, prendo tutti i casi in cui è verificabile tale evento e poi lo condiziono agli eventi singoli?

Quindi in questo caso, se applichiamo Bayes, dire "hai pescato una bianca e una nera (A), qual è la probabilità che la terza sia nera?(B)" equivale a fare la probabilità totale del pescare 1 bianca e 1 nera (con $i$ che include i casi 2b1n e 1b2n) e poi fare la probabilità condizionata con gli eventi singoli?

Direi di sì.

E in generale, così mi ritrovo anche per gli altri esercizi, posso applicare Bayes sempre in questo modo? In generale, prendo tutti i casi in cui è verificabile tale evento e poi lo condiziono agli eventi singoli?

Non sempre, direi.

Perfetto, grazie mille per la pazienza

Bayes non mi è mai sembrato così speciale.

$P(A\cap B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)$ è abbastanza noto.

Quindi possiamo scrivere, abbastanza banalmente:

$P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$

e

$P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(A)}$

E abbastanza spesso almeno una di queste due equazioni ci dice come calcolare una cosa a prima vista orribile in termini di cose molto più facili da calcolare.